Pepe Chapuzas estaba jugando con dos imanes... Él decía que eran imanes booleanos y que se llamaban Unión e Intersección... Por supuesto, tenía que proponer un reto...
Mire, profe. Tenemos cierto experimento aleatorio del que A y B son dos sucesos independientes. Se conocen las probabilidades de la unión y de la intersección:
P(A∪B) = 0,9032
P(A∩B) = 0,4368
Calcula P(A) y P(B).Le pregunté a Pepe si acaso no faltaba algún dato... a lo que respondió...
P(A) < P(B)
Resuelve el reto de Pepe... con o sin imanes...
SOLUCIÓN
Nina Guindilla exhibió su "magnética" solución...
Profe, mire. Como A y B son sucesos independientes
P(A)·P(B) = P(A∩B) = 0,4368
por tanto
P(A)+P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) = 0,9032 + 0,4368 = 1,34
p2 – 1,34 p + 0,4368 = 0
por tanto
P(A) = 1,34/2 – √(1,342/4 – 0,4368) = 0,56
P(B) = 1,34/2 + √(1,342/4 – 0,4368) = 0,78
Nina no se quedó aquí... Resuelve el problema con que os reta ahora...
Mire, profe. De tres sucesos independientes de un experimento aleatorio se conocen:
P(A∪B∪C) = 0,98
P((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)) = 0,81
P(A∩B∩C) = 0.36
Calcula P(A), P(B) y P(C), sabiendo que P(A) < P(B) < P(C) y que son números racionales.
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso razonó de la siguiente manera:
Profe, mire... Los sucesos son independientes, así que:
P(A)·P(B)·P(C) = P(A∩B∩C) = 0,36
P(A)·P(B) + P(A)·P(C) + P(B)·P(C) = P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C) =
= P((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)) + 2·P(A∩B∩C) = 0,81 + 2·0,36 = 1,53
P(A)+P(B)+P(C) = P(A∪B∪C) + P((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)) + P(A∩B∩C) =
= 0,98 + 0,81 + 0,36 = 2,15
Por lo tanto, P(A), P(B) y P(C) son las soluciones de la ecuación de tercer grado:
p3 – 2,15 p2 + 1,53 p – 0,36 = 0
100 p3 – 215 p2 + 153 p – 36 = 0
100 p3 – 215 p2 + 153 p – 36 = 0
Los divisores de 100 son 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100 y los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 . Aplicando el teorema de la raíz racional... y con un poco de paciencia...
Por lo que P(A) = 3/5 = 0,6 , P(B) = 3/4 = 0,75 y P(C) = 4/5 = 0,8 .
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