1544. Por medio de las medias... RESOLUCIÓN

 

    No. No se trataba de las medias naranjas. Pepe había propuesto un problema de clase sencillo... Había que calcular dos cantidades sabiendo que su media aritmética era 4,85 y su media geométrica era 3,60...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla prefería las medias lunas a las medias naranjas... Veamos como gestiona las medias de Pepe...

    Mire, profe.
    Si la media aritmética es  4,85  entonces la suma de las cantidades es  2·4,85 = 9,7 .
    Si la media geométrica es  3,60  entonces el producto de las cantidades es  3,6² = 12,96 .
    Por lo tanto las dos cantidades buscadas son las soluciones de la ecuación

x² – 9,7x + 12,96  =  0

de discriminante

9,7² – 4·12,96  =  42,25

por lo que las cantidades son

( 9,7 + √42,25 ) : 2  =  8,1

y

( 9,7 – √42,25 ) : 2  =  1,6

    Nina tenía que complicar un poco la cuestión...

    Mire, profe. Hay que calcular dos cantidades positivas sabiendo que su media cuadrática es  6   y su media armónica es  2,1 .

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso también quería utilizar las fórmulas de Cardano-Vieta para resolver este problema...

    Mire, profe. Sean  a  y  b  las cantidades buscadas y llamemos a su suma  S  y a su producto  P :

S = a+b

P = a·b

    Resulta que  a  y  b  son las soluciones de la ecuación  x² – Sx + P = 0  porque

(x–a)·(x–b)  =  x² – ax – bx + ab  =  x² – (a+b) x + ab

    Pues bien. Tenemos que la media cuadrática es

Q = √( (a²+b²)/2 ) = √( (a+b)²/2 – ab ) = √( S²/2 – P ) = 6

de donde

S² – 2P = 72

    Y tenemos que la media armónica es

H = 2 / (1/a + 1/b) = 2ab / (a+b) = 2P/S = 2,1

de donde 

2P = 2,1S

    Por tanto,

S² – 2,1S – 72 = 0
S = 1,05 + √( 1,05²+72 ) = 1,05 + 8,55 = 9,6
P = 1,05·S = 1,05·9,6 = 10,08

con lo que

x² – 9,6x + 10,08 = 0

    La raíz cuadrada del discriminante de esta ecuación es...

√( 4,8²–10,08 ) = √12,96 = 3,6 

y así

a = 4,8 + 3,6 = 8,4
b = 4,8 – 3,6 = 1,2