Pepe Chapuzas interrumpió..., pero como no me fío de él le pregunté directamente por el nuevo reto... Y no me equivoqué... Traía una ecuación de tercer grado: una ecuación cúbica. (Por cierto, yo ya había visto sandías cúbicas, pero jamás me habrían inspirado ecuaciones... También estaba claro que dimensionalmente no era lo mismo un cubo que un cuadrado... También, en principio, eran muy diferentes las ecuaciones de tercer grado y las de segundo grado...)
Mire, profe. Solo hay que hallar las soluciones de la ecuación
x3 – 12,3 x2 + 45,32 x + K = 0
sabiendo que una solución es el triple de otra solución.
¡Pues venga! A calcular las tres soluciones A, B y C y el término independiente K ...
SOLUCIÓN
Profe, mire. Podemos suponer que B = 3A con lo que las fórmulas de Cardano-Vieta quedan:
A + B + C = A + 3A + C = 4A + C = 12,3
AB + AC + BC = 3AA + AC + 3AC = 3A2 + 4AC = 45,32
ABC = 3AAC = 3A2C = K
Así pues
C = 12,3 – 4A
3A2 + 4A (12,3 – 4A) = – 13A2 + 49,2A = 45,32
13A2– 49,2A + 45,32 = 0
A = ( 49,2 ± √(49,22 – 4·13·45,32) ) / (2·13)
Soluciones:
A1 = 11 / 5 , B1 = 33 / 5 , C1 = 7 / 2 y K1 = 2541 / 50
A2 = 103 / 65 , B2 = 309 / 65 , C2 = 155 / 13 y K2 = 986637 / 10985
Nina Guindilla había comprobado que, en realidad, esta ecuación de tercer grado era de segundo. (La sandía cúbica era cuadrada.)
Nina presentó otra ecuación de tercer (¿o de segundo?) grado...
Mire, profe. Solo hay que hallar las soluciones de la ecuación
sabiendo que una solución tiene de módulo 6,5 .
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso razonó...
Mire, profe. Si la solución de módulo 6,5 fuera real, entonces sería 6,5 o –6,5 . Pero ninguno de estos números verifica la ecuación...
Nina presentó otra ecuación de tercer (¿o de segundo?) grado...
Mire, profe. Solo hay que hallar las soluciones de la ecuación
x3 – 3,4 x2 + 7,93 x + 185,9 = 0
sabiendo que una solución tiene de módulo 6,5 .
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso razonó...
Mire, profe. Si la solución de módulo 6,5 fuera real, entonces sería 6,5 o –6,5 . Pero ninguno de estos números verifica la ecuación...
6,53 – 3,4 · 6,52 + 7,93 · 6,5 + 185,9 = 368,42
(–6,5)3 – 3,4 · (–6,5)2 + 7,93 · (–6,5) + 185,9 = –283,92
por lo que tiene que haber dos soluciones complejas imaginarias conjugadas de módulo 6,5 y una tercera solución real:
A + B + C = 2P + C = 3,4
AB + AC + BC = 6,52 + 2PC = 7,93
ABC = 6,52 · C = –185,9
de donde
Aunque, una vez hallada C = –4,4 se podía haber proseguido así:
Me acordé de dos problemas clásicos: el de la caña de bambú quebrada y el del junco del estanque circular; porque ambos parecen ser ecuaciones de segundo grado cuando en realidad son de primer grado... Es fácil encontrar los enunciados de estos problemas en Internet...
A = P + Q i
B = P – Q i
C = C + 0 i
Las ecuaciones de Cardano-Vieta quedarían...B = P – Q i
C = C + 0 i
A + B + C = 2P + C = 3,4
AB + AC + BC = 6,52 + 2PC = 7,93
ABC = 6,52 · C = –185,9
C = – 185,9 / 6,52 = – 4,4
P = (3,4 – C) / 2 = 7,8/2 = 3,9
( o también P = (7,93 – 6,52) / (2C) = 34,32 / 8,8 = 3,9 )
Q = √( 6,52 – 3,92 ) = 5,2
A = 3,9 + 5,2 i
B = 3,9 – 5,2 i
P = (3,4 – C) / 2 = 7,8/2 = 3,9
( o también P = (7,93 – 6,52) / (2C) = 34,32 / 8,8 = 3,9 )
Q = √( 6,52 – 3,92 ) = 5,2
A = 3,9 + 5,2 i
B = 3,9 – 5,2 i
Aunque, una vez hallada C = –4,4 se podía haber proseguido así:
( x3 – 3,4 x2 + 7,93 x + 185,9 ) / (x + 4,4) =
= x2 – 7,8 x + 42,25 =
= (x – 3,9)2 – 3,92 + 42,25 =
= (x – 3,9)2 + 27,04 =
= (x – 3,9)2 + 5,22
Me acordé de dos problemas clásicos: el de la caña de bambú quebrada y el del junco del estanque circular; porque ambos parecen ser ecuaciones de segundo grado cuando en realidad son de primer grado... Es fácil encontrar los enunciados de estos problemas en Internet...
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