1542. Requeteinscrito. RESOLUCIÓN

    Mire, profe. En un cuadrado inscribimos un sector circular cuyo centro esté en el punto medio de un lado del cuadrado. En el sector circular inscribimos un círculo. Y en el círculo inscribimos un cuadrado tal como se muestra en el dibujo. Si el área del cuadrado pequeño es 1 m², ¿cuánto mide el área del cuadrado grande?

    ¡Un cuadrado requeteinscrito!
    Resuelve el reto que acaba de proponer Pepe Chapuzas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no partió del cuadrado pequeño para llegar al grande sino al revés...

    Profe, mire. Si el lado del cuadrado grande mide  L , el radio del sector circular también medirá  L  y el triángulo naranja será un cartabón y el triángulo morado también. (Recuerdo que en un cartabón los ángulos miden 30º, 60º y 90º y que la longitud de la hipotenusa duplica la longitud del cateto menor.) Por otro lado el triángulo rosa es una escuadra (un triángulo rectángulo isósceles).

    Si  r  es el radio del círculo tenemos

L – r = 2 r

L = 3 r

r = L/3

    Y el lado del cuadrado pequeño... 

1 = √(r² + r²) = √2·r = √2/3·L

    Y el área del cuadrado grande...

L² = (3/√2)² = 9/2 = 4,5 m².

    Demasiado rápida, Nina, como de costumbre... 
    Nina propone expresar el radio del círculo inscrito en un sector circular en función del radio y del ángulo del sector. ¿Quién osa?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso razonó a partir de un dibujo

    Mire, profe. 

sen (α/2)  =  r / (R–r)

(R–r) · sen (α/2)  =  r 

R sen (α/2) – r sen (α/2)  =  r

R sen (α/2) = r + r sen (α/2)

R sen (α/2) = r · (1 + sen (α/2))

r = R · sen (α/2) / (1 + sen (α/2))