1535. Una progresión aritmeticogeométrica. RESOLUCIÓN

    Demuestra que esta sucesión que he subido a la nube es el producto de una progresión aritmética y una progresión geométrica...

    ¡Otro reto de Pepe Chapuzas!
    Pepe podía haber escrito "progresión aritmeticogeométrica" que es el nombrecito que reciben tales sucesiones...

    ¿A qué esperáis?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla fue la primera en abordar el problema...

    Mire, profe. El término general de una progresión aritmética  A  viene dado un polinomio de primer grado y el término general de una progresión geométrica   B  viene dado por una función exponencial (de variable natural).

A_n = A₁ + (n–1)·D

B_n = B₁ · R^n–1

    Por lo tanto, el término general de una progresión aritmeticogeométrica  C  vendrá dado así

C_n = (A₁ + (n–1)·D) · B₁ · R^n–1 = (C₁ + (n–1)·K) · R^n–1
    

    Para  n = 1 , tenemos que  C₁ = 16

    Para  n = 2 , tenemos que  C₂ = (16 + K) · R = 16 , por tanto  K = 16/R – 16

    Para  n = 3 , tenemos que  C₃ = (16 + 2·K) · R² = 12 , por tanto  K = 6/R² – 8

    Igualando...

16/R – 16  =  6/R² – 8

8 – 16/R + 6/R²  =  0

4·R² – 8·R + 3  =  0

R₁ = 1 + √(16–12) / 4 = 3/2          K₁ = 16 / (3/2) – 16 = 32/3 – 16 = –16/3

R₂ = 1 – √(16–12) / 4 = 1/2          K₂ = 16 / (1/2) – 16 = 32 – 16 = 16

    Para  n = 4 , tenemos, o bien  C₄ = (16 + 3·K₁) · R₁³ = (16 – 16) · 27/8 = 0 , que es falso..., o bien C₄ = (16 + 3·K₂) · R₂³ = (16 + 48) · 1/8 = 64 / 8 = 8 , que es cierto.

    Para  n = 5 , tenemos que  C₅ = (16 + 4·K₂) · R₂⁴ = (16 + 64) · 1/16 = 80/16 = 5 , que es cierto.

    Así pues,  C_n = (16 + 16·(n–1)) · (1/2)^n–1  es una progresión aritmeticogeométrica.

    Pedí a mis boquiabiertos alumnos que calcularan la suma de sus infinitos términos (la serie infinita). Solo les indiqué que la convergencia estaba asegurada porque  –1 < R < 1 .

RESOLUCIÓN

    Veamos cómo se le da la suma a Yoyó Peluso...

    Profe, mire. Llamemos  S  a la suma de los infinitos términos que me ha asegurado que existe.

S  =  C₁ + (C₁ + K) · R + (C₁ + 2·K) · R² + (C₁ + 3·K) · R³ + (C₁ + 4·K) · R⁴ + ...

    Multiplicando por  R

S · R  =  C₁ · R + (C₁ + K) · R² + (C₁ + 2·K) · R³ + (C₁ + 3·K) · R⁴ + ...

    Restando las dos igualdades...

S – S · R  =  C₁ + K·R + K·R² + K·R³ + K·R⁴ + ...

S · (1–R)  =  C₁ + K·R / (1–R)

S  =  C₁ / (1–R) + K·R / (1–R)²   

    En nuestro caso...

S  =  16 / (1/2) + 16 · 1/2 / (1/2)²  =  32 + 32  =  64