1534. Las progresiones armónicas. RESOLUCIÓN

    Si tomamos 3 términos consecutivos de una progresión aritmética, el del medio es la media aritmética de los otros dos. Esto es obvio porque si  M  es el término del medio y  D  es la diferencia de la progresión, entonces  M–D  y  M+D  son los otros dos, y su media aritmética...

( M–D + M+D ) / 2  =  2·M / 2  =  M

    Si tomamos 3 términos consecutivos de una progresión geométrica, el del medio es la media geométrica de los otros dos. Esto es obvio porque si  M  es el término del medio y  R  es la razón de la progresión, entonces  M/R  y  M·R  son los otros dos, y su media geométrica...

√(M/R · M·R)  =  √M²  =  M

    Mire, profe... Si en cada trío de términos consecutivos de una sucesión, el del medio fuera la media armónica de los otros dos, ¿podríamos decir que se trata de una progresión armónica?

    Mi respuesta a Pepe Chapuzas fue afirmativa... Efectivamente existían, y así se llamaban, tales progresiones: armónicas... Pero nunca habíamos hablado de ellas en clase...

    Al hilo de esta pregunta enuncié un ejercicio fácil... Había que demostrar que una sucesión  S  era una progresión armónica si y solo si la sucesión inversa  1/S  era una progresión aritmética...

    ¿Hay algún demostrador por ahí?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla demostró primero que si  1/S  era una progresión aritmética, entonces  S  era una progresión armónica tal como la había definido Pepe... 

    Mire, profe.

    Consideremos 3 términos consecutivos L, M y N de la sucesión  S . Si D es la diferencia de la progresión aritmética  1/S , entonces

1/L  =  1/M – D   y   1/N  =  1/M + D

y la media armónica de L y N será

2 / (1/L+1/N)  =  2 / (1/M–D + 1/M+D)  =  2 / (2/M)  =  M

    Por lo tanto,  S  es una progresión armónica.

    A continuación, Nina demostró lo recíproco por inducción...

    Consideremos los 2 primeros términos A y B  de la progresión armónica  S  y sea

D  =  1/B – 1/A

    Si suponemos que para 3 términos consecutivos L, M y N de la progresión armónica  S  se cumple que 

1/M – 1/L  =  D

entonces, como M es la media armónica de L y N

1/N – 1/M =

= 1/N – (1/L+1/N) / 2  =

=  (1/N–1/L) / 2  = 

=  (1/L+1/N) / 2 – 1/L  =

=  1/M – 1/L =

=  D

    Por lo tanto,  1/S  es una progresión aritmética.

    Nina Guindilla comentó que de forma paralela se puede demostrar que si en cada trío de términos consecutivos de una sucesión, el del medio fuera la media aritmética [geométrica] de los otros dos, entonces la sucesión sería una progresión aritmética [geométrica positiva]...

    ¡En Matemáticas, el rigor es el rigor...!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso mató dos pájaros de un tiro... por inducción...

    Mire, profe. Sea  D  [R]  la diferencia [razón] entre los dos primeros términos A y B de la sucesión...

D = B–A
[ R = B/A ]

    Dados tres términos consecutivos L, M y K de la sucesión, , si suponemos que

M–L = D
[ M/L = R ]

como M es la media aritmética [geométrica] de L y K, tenemos...

K–M  =  K – (L+K)/2  =  (K–L)/2  =  (L+K)/2 – L  =  M–L  =  D
[ K/M  =  K / √(L·K)  =  √(K/L)  =  √(L·K) / L  =  M/L  =  R ]

    Para terminar, Yoyó comentó que el ejemplo más sencillo de progresión armónica era:

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...

que estaba relacionada con los armónicos musicales...