1536. Un enlace geométrico (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas tenía un cuadrado y un círculo enlazados de la siguiente manera y una cuestión:

    Mire, profe. Si el área naranja mide 1m², ¿cuánto mide el área amarilla?

    ¡Se ha abierto la veda! ¿Quién caza la solución?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dividió el área naranja en un semicírculo y una escuadra mediante un segmento...

    Mire, profe. Como el ángulo recto de la escuadra está inscrito en el círculo, entonces la hipotenusa de la escuadra es el diámetro del círculo. Si la longitud de este segmento es 2R, entonces el área del semicírculo mide  π·R²/2  y la de la escuadra  R² , por tanto

π·R²/2 + R² = 1

R² · (π/2 + 1) = 1

R² = 1 / (π/2 + 1)

    El área del círculo mide  π·R² = π / (π/2 + 1) .

    Por otro lado, el lado del cuadrado mide  R + R/√2 = (1+1/√2)·R  como se ve aquí...

    Por lo tanto, el área del cuadrado mide  (3/2 + √2) · R²  =  (3/2 + √2) / (π/2 + 1) .

    El área amarilla será el área del círculo más el área del cuadrado menos dos veces el área naranja: 

 (π + 3/2 + √2) / (π/2 + 1) – 2  =  0,3556 m² , aproximadamente.

    ¿Cuánto mide el perímetro de la región naranja?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comentó que era muy sencillo con los datos calculados por Nina...

    Profe, mire. Solo hay que sumar la semicircunferencia más ambos catetos de la escuadra. Esto es,  π·R + √2·R + √2·R  =  (π + 2√2) / R  =  (π + 2√2) / √(π/2 + 1)  =  3,7234 m , aproximadamente.