1532. Razón y sinrazón... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha retado a la clase:

    Los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón  r . ¿Qué valores puede tomar dicha razón  r ?

    ¡Gana el reto!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla razonó...

    Mire, profe. El lado mayor de un triángulo es menor que la suma de los otros dos...

    Si  r = 1  entonces los tres lados son iguales y el triángulo es equilátero... (Hay gente que opina que la razón de una progresión geométrica no puede ser 1, lo cual es una sinrazón.)

    Si  r > 1 , entonces  a < ar < ar² . Y por lo tanto

a + ar > ar²

1 + r > r²

r² – r – 1 < 0

1 < r < (1+√5)/2 = φ

    La razón de la progresión tiene que ser menor que la razón áurea  φ = 1,618...


    Si  r < 1 , entonces  a > ar > ar² . Y por lo tanto

a < ar + ar²

1 < r + r²

r² + r – 1 > 0

 y con la fórmula de la solución de la ecuación cuadrática...

1 > r > (–1+√5)/2 = 1/φ

    La razón de la progresión tiene que ser mayor que  1/φ = 0,618...

    Por lo tanto

1/φ < r < φ

    Y si en vez de un triángulo tuviéramos un cuadrilátero con lados en progresión geométrica... ¿Qué valores podría tomar la razón de dicha progresión?

    Y si fuera un polígono de  n  lados... ¿Quá valores podría tomar la razón si  n  tiende a infinito?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tomó el relevo en el razonamiento...

    Mire, profe. Los lados del cuadrilátero serán a, ar, ar² y ar³.
    Si r = 1 tenemos un cuadrado...
    Si r > 1, tenemos 

a < ar < ar² < ar³

a + ar + ar² > ar³

1 + r + r² > r³

 r³ – r² – r – 1 < 0

y con la fórmula de la solución de la ecuación cúbica...

    Si r < 1, podemos invertir el orden de los lados del cuadrilátero y la razón de la progresión sería entonces 1/r > 1, y por lo anterior

    Aproximadamente...

0,543689... < r < 1,839286...

    En el caso de un polígono de  n  lados...

    Si fuera r < 1, tendríamos

a > ar > ar² > ar³ > ... > arⁿ

a < ar + ar² +...+ arⁿ

1 < r + r² +...+ rⁿ

    Cuando n tiende a infinito...

1 < r / (1–r)

1–r < r

1 < 2r

r > 1/2

    Y si fuera r > 1, invirtiendo el orden...

1/r < 1
a > a/r > a/r² > a/r³ > ... > a/rⁿ

y por lo anterior

1/r > 1/2

r < 2

    Por tanto

0,5 < r < 2