1527. Los círculos de Descartes. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha propuesto el siguiente problema. Es harto interesante...

    Mire, profe. He aquí cuatro círculos tangentes exteriores entre sí. Si los cuatro radios estuvieran en progresión geométrica..., ¿cuál sería la razón de la progresión?

    Pepe nos ha dado como pista que son círculos de Descartes... ¡Ahí va eso!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos refresca el teorema de los círculos de Descartes...

    Profe, mire. Si  A  es el radio de un círculo, decimos que  a = 1/A  es su curvatura...
    El teorema de los círculos de Descartes afirma que si  a ,  b ,  c  y  d  son las curvaturas de cuatro círculos tangentes exteriores entre sí, entonces

(a + b + c + d)² = 2 (a² + b² + c² + d²)

    Si los radios A, B, C y D estuvieran en progresión geométrica de razón R > 1

B = AR

C = AR² 

D = AR³

entonces, las curvaturas estarían en progresión geométrica de razón  r = 1/R < 1

b = 1/B = 1/(AR) = ar

c = 1/C = 1/(AR²) = ar²

d = 1/D = 1/(AR³) = ar³

    Aplicando el teorema de los círculos de Descartes tenemos que

(a + ar + ar² + ar³)² = 2 (a² + a²r² + a²r⁴ + a²r⁶)
a² (1 + 2r + 3r² + 4r³ + 3r⁴ + 2r⁵ + r⁶) = 2a² (1 + r² + r⁴ + r⁶)

divido entre  a² (1+r²)

r⁴ + 2r³ + 2r² + 2r + 1 = 2r⁴ + 2

r⁴ – 2r³ – 2r² – 2r + 1 = 0

divido entre  r²

r² – 2r – 2 – 2R + R² = 0
(r + R)² – 2 (r + R) – 4 = 0

por tanto

r + R = 1 + √5

y como

r · R = 1

entonces  r  y  R  son soluciones de 

w² – (1 + √5) w + 1 = 0

de donde

R  =  ( 1 + √5 + √(2 + 2√5) ) / 2  =  2,89...
r  =  ( 1 + √5 – √(2 + 2√5) ) / 2  =  0,346...

    

    A Nina no le dan miedo las ecuaciones de grado superior que no se dejan resolver con la regla de Ruffini...
    Después de dejarnos boquiabiertos, Nina aún tiene humor para sugerirnos que el teorema de los círculos de Descartes sigue valiendo si uno de los círculos tiene radio infinito... ¿Qué querrá decir?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso sabía lo que quería decir Nina:

    Mire, profe. Un semiplano se puede considerar un círculo degenerado de radio infinito y curvatura cero. El teorema de Descartes quedaría así... 

    Si  a ,  b  y  c  son las curvaturas de tres círculos tangentes exteriores entre sí y tangentes a una recta, entonces

(a + b + c)² = 2 (a² + b² + c²)

    La recta sería el borde del semiplano...

    Por mi parte, solo añadí que el teorema de los círculos de Descartes seguía valiendo si había círculos tangentes interiores... siempre que  admitamos que el círculo que circunscribe a los demás tiene curvatura negativa... (El "círculo" con curvatura negativa sería la región exterior de la circunferencia.)