1526. ¿Semiderivadas? RESOLUCIÓN

    Habíamos explicado la "regla del saltito". Así denominábamos en clase a la derivada de una potencia (por lo que le ocurría al exponente)...

D xⁿ  =  n·x^n–1

    Pepe Chapuzas entendió que la fórmula no solo servía para polinomios sino también para "otras" potencias...

    Mire, profe. Si el exponente es fraccionario o negativo, la fórmula sigue funcionando...

D √x  =  D x^1/2  =  1/2 · x^–1/2  =  1 / (2√x)

D (1/x)  =  D x^–1  =  – x^–2  = –1/x²

    Se puede aplicar la regla del saltito varias veces para calcular derivadas sucesivas (de orden superior) de una potencia...

D² xⁿ  =  n·(n–1)·x^n–2

D^m xⁿ  =  n·(n–1)·(n–2)·...·(n–m+1)·x^n–m

    Si m y n son enteros y  0 ≤ m ≤ n , esta última fórmula se puede escribir así (¿nos acordamos de las variaciones ordinarias?):

D^m xⁿ  =  n! / (n–m)! · x^n–m

    Si  n  no es un número entero, siempre podemos recurrir a la función  Γ (gamma), que generaliza el factorial de un número:  Γ(n+1) = n! ...

D^m xⁿ  =  Γ(n+1) / Γ(n–m+1) · x^n–m            (*)

    Profe, mire. ¿Se podría utilizar esta fórmula para calcular medias derivadas o semiderivadas?

    Alguno pensó que Pepe había perdido el juicio... Sin embargo los conceptos de media derivada (semiderivada), un cuarto de derivada, tres quintos de derivada, etc. existen en el llamado Cálculo Fraccional o Fraccionario: son derivadas fraccionales. También existen integrales fraccionales...

    ¡Qué cosas más raras se les ocurren a los matemáticos!
    ¿Quién responde a Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla responde...

    Mire, profe. La fórmula (*) generaliza más de lo que parece...

    ¿Derivamos la función  f(x) = 1  a medias? Basta aplicar la fórmula (*) para  n = 0  y  m = 1/2 :

D^1/2 x⁰  =  Γ(1) / Γ(1/2) · x^–1/2  =  1 / √π · 1 / √x  =  1 / √(πx)        ¿ x > 0 ?

    Por supuesto, derivar es semiderivar dos veces: 

 Γ(1) / Γ(1/2) · D^1/2  x^–1/2  = Γ(1) / Γ(1/2) · Γ(1/2) / Γ(0) · x^–1  =  1/∞ / x = 0/x = 0

    Profe, mire, ¡no dejará de sorprenderme el valor  Γ(1/2) = √π !

    ¿Qué tal la derivada y media de  g(x) = √x⁵ ? Ahora  n = 3/2  y  m = 5/2  :

D^3/2 x^5/2  =  Γ(7/2) / Γ(2) · x¹  =  15/8 · √π  · x

    Profe, mire. De forma similar se habla de media integral, un tercio de integral, tres cuartos de integral... Y no solo de potencias... La series de Taylor permiten trabajar con muchas otras funciones...

    Esa es otra historia... Buscad usos curiosos de la función Γ.

RESOLUCIÓN

    Mire, Profe. Nos dieron en su día fórmulas para la suma de términos de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. También nos dieron la fórmula del producto de términos de una progresión geométrica... pero la que falta es la del producto de términos de una progresión aritmética...

    Creo que Yoyó Peluso va a enriquecernos...

    Sea la progresión aritmética de primer término  a₁ = a  y de diferencia  d .

a₁ · a₂ · a₃ · ... · a_n =

= a · (a+d) · (a+2d) · ... ·  (a+(n–1)d) =

= a/d · (a/d+1) · (a/d+2) · ... · (a/d+n–1) · dⁿ =

=  Γ(a/d+n) / Γ(a/d) · dⁿ

    Bonita fórmula... que tiene sus limitaciones al igual que la fórmula (*): los números enteros que no son naturales {0, –1, –2, –3, ...} no pertenecen al dominio de la función Γ.