1528. Un trapecista... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas es un "trapecista": hace acrobacias con el trapecio. Esta mañana trajo este problema:

    No se necesitan más datos... (El dibujo no es muy realista.)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo resolvió de la siguiente manera...

    Mire, profe. 

    La raíz cuadrada de 4 es 2.

    La raíz cuadrada de 9 es 3.

    La suma de 2 y 3 es 5.

    El cuadrado de 5 es 25.

    Esta es la solución: el área del trapecio es 25.

    Nina había utilizado una fórmula que permitía calcular el área de un trapecio a partir de las áreas de los triángulos que las diagonales forman con las bases...

    Ahora tocaba demostrarla...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso demostró en primer lugar que los otros dos triángulos "C" y "D" tenían la misma área:

    Mire, profe. Los triángulos  "C+B"  y  "D+B"  tienen la misma área porque tienen la misma base y la misma altura, por lo tanto, los triángulos "C" y "D" tienen la misma área. O sea... 

C = D

    A continuación demostró que  C  es la media proporcional de  A  y  B .

    Mire, profe. Consideremos la diagonal que separa  "A+D"  de  "C+B" ... Como los triángulos "A" y "D"  tienen la misma altura sobre la diagonal, esas áreas A y D serán proporcionales a los lados sobre la diagonal. Lo mismo podemos decir de las áreas de "C" y "B" y como los lados sobre la diagonal son comunes, tenemos...

A/C = D/B

    Esto se cumple en cualquier cuadrilátero... pero aquí y ahora, con trapecios...

A·B = C·D = C·C = C²

C = √(A·B)

    Lo que quedaba era sencillo...

    Mire, profe. El área del trapecio será 

A + B + C + D = A + B + 2√(A·B) = ( √A + √B )²

    Si  E  es el área del trapecio, me gusta más la fórmula así:

√A + √B = √E

    Aunque en realidad, profe. El problema de Pepe Chapuzas yo lo resolví de otra manera...

    Como los triángulos "A" y "B" son semejantes y sus áreas miden 4 y 9 respectivamente, la razón de semejanza entre ellos será

√(B/A) = √(9/4) = 3/2 = 1,5

    Y el área del trapecio medirá 

(base + BASE) · (altura + ALTURA) / 2  = 

=  (base + 1,5 · base) · (altura + 1,5 · altura) / 2  =

=  2,5 · base · 2,5 · altura / 2  =

=  2,5² · base · altura / 2  =

=  2,5² · 4  =

=  25