1523. Coordenadas areales. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas nos ha mostrado hoy el precioso teorema de Marion Walter.

    Mire, profe. Si desde cada vértice de un triángulo de área 1 trazamos un par de cevianas que trisequen su lado opuesto, se forma en el interior un hexagonito de área 1/10.

    Este teorema se puede demostrar fácilmente con coordenadas areales...

    ¡A demostrar el teorema!

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Sean  A, B y C  los vértices del triángulo. Cada punto  P  del triángulo queda determinado por sus coordenadas areales (o baricéntricas absolutas normalizadas)

x = área (PBC)

y = área (PAC)

z = área (PAB)

    Aquí,  x + y + z = 1 . (Recuérdese que área (ABC) = 1.) Por tanto las coordenadas areales no son independientes entre sí: siempre han de sumar 1.
    Para ubicar un punto a partir de sus coordenadas areales, se calculan las distancias de P a los lados del triángulo ABC (con la fórmula  área = base · altura / 2 ) y se trazan paralelas a los lados a esas distancias...

    Escribamos las coordenadas areales como una matriz fila...

P  =  (x  y  z)

    Las coordenadas de los vértices son:

A  =  (1  0  0)

B  =  (0  1  0)

C  =  (0  0  1)

    Y las ecuaciones de los lados:

AB  :  z = 0      o también      x+y = 1
AC  :  y = 0      o también      x+z = 1
BC  :  x = 0      o también      y+z = 1

    Los puntos medios de los lados serían:

D  =  (0  1/2  1/2)
E  =  (1/2  0  1/2)
F  =  (1/2  1/2  0)

    Y las ecuaciones de las medianas:

AD  :  y = z
BE  :  x = z
CF  :  x = y

    Así, el baricentro satisface las ecuaciones de las medianas: G  =  (1/3  1/3  1/3)

    Los puntos de trisección de los lados son:

H  =  (0  2/3  1/3)

I  =  (0  1/3  2/3)

J  =  (1/3  0  2/3)

K  =  (2/3  0  1/3)

L  =  (2/3  1/3  0)

M  =  (1/3  2/3  0)

    Y las cevianas del teorema:

AH  :  y = 2z
AI  :  2y = z
BJ  :  x = 2z
BK  :  2x = z
CL  :  x = 2y
CM  :  2x = y

    Los vértices del hexagonito son intersecciones de cevianas..., y satisfacen sus ecuaciones...

U  =  (1/2  1/4  1/4)

V  =  (1/4  1/2  1/4)

W  =  (1/4  1/4  1/2)

X  =  (1/5  2/5  2/5)
Y  =  (2/5  1/5  2/5)
Z  =  (2/5  2/5  1/5)

    Hemos dividido el hexagonito en 6 triangulitos. Calcular el área de un triángulo es muy fácil con coordenadas areales... Basta ordenar los 3 vértices del triángulo en sentido positivo y calcular el determinante de orden 3 formado por sendas coordenadas... Los 6 triangulitos tienen la misma área: por ejemplo, calculamos el área del triángulo  GUZ :

                  | 1/3  1/3  1/3 |
                  | 1/2  1/4  1/4 |  =  1/60 + 1/15 + 1/30 – 1/30 – 1/30 – 1/30  =  1/60
                  | 2/5  2/5  1/5 |

    Por lo tanto, el área del hexagonito es 6·1/60 = 1/10

    Habrá que justificar por qué el determinante de las coordenadas areales da el área del triángulo...
    De despedida, Nina propone calcular el área del triángulo RST.

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Los puntos R, S y T también son intersecciones de cevianas. Para R se ha de cumplir que  x = 2z = 4y ; para S, que  y = 2x = 4z ; y para T, que  z = 2y = 4z . Es como hacer repartos directamente proporcionales...

R  =  (4/7  1/7  2/7)

S  =  (2/7  4/7  1/7)

T  =  (1/7  2/7  4/7)

    El área pedida medirá

           | 4/7  1/7  2/7 |
           | 2/7  4/7  1/7 |  =  64/343 + 1/343 + 8/343 – 8/343 – 8/343 – 8/343  =  49/343  =  1/7
           | 1/7  2/7  4/7 |

     Yoyó Peluso había calculado el área con el determinante, pero aún tenía que justificar el método...

    Profe, mire. 
    Primero probaremos que si un punto  P  tiene coordenadas areales  (x  y  z) , entonces su vector de posición se puede escribir como combinación lineal de los vectores de posición de A, B y C de esta manera:

OP = xOA + yOB + zOC

    Veamos... El punto A y los vectores AB y AC forman un sistema de referencia afín del plano por lo que existen unos únicos coeficientes  m  y  n  tales que

AP = mAB + nAC

OP – OA = mOB – mOA + nOC – nOA

OP = (1–m–n)OA + mOB + nOC

    Como  m  y  n  son proporcionales a las alturas de los triángulos PAC y PAB desde P, y las alturas son proporcionales a las áreas de los triángulos, tenemos que  m/y = n/z = k . Para calcular la constante  k  basta un punto. Para el punto  B = (0  1  0) , tenemos  AB = 1·AB + 0·AC  y por lo tanto  k = 1/1 = 1, de donde se tiene que  m = y ,  n = z  y  1–n–m = 1–y–z = x .

    Consideremos ahora los tres vértices de un triángulo  PQR  ordenados en sentido positivo...  Llamemos P = (x  y  z) ,  Q = (x'  y'  z')  y  R = (x"  y"  z")  en coordenadas areales por un lado y  P(p, p'), Q(q, q') y R(r, r')  en coordenadas cartesianas por otro... Si los vértices del triángulos ABC son A(a, a'), B(b, b') y C(c, c') en coordenadas cartesianas, entonces tenemos...

x+y+z = 1      y      (p,  p') = x(a, a') + y(b, b') + z(c. c')

x'+y'+z' = 1      y      (q,  q') = x'(a, a') + y'(b, b') + z'(c, c')

x"+y"+z" = 1      y      (r,  r') = x"(a, a') + y"(b, b') + z"(c, c')

    Esto se puede escribir matricialmente:

    De donde se desprende el resultado... 

    El lector puede comprobar fácilmente que...

                        | 1  p  p' |

                        | 1  q  q' |  =  2 · área (PQR)

                        | 1  r   r' |

y que...

                        | 1  a  a' |

                        | 1  b  b' |  =  2 · área (ABC)  =  2 · 1  =  2

                        | 1  c  c'  |