1522.. El teorema de la mariposa. RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Hay teoremas matemáticos con un bonito nombre como el teorema de la mariposa. Pero el teorema de por sí ya es bonito...

    No todo el mundo aprecia la belleza de los teoremas... Está claro que Pepe Chapuzas sí... Así enunció a la clase lo que afirmaba el teorema:

    TEOREMA DE LA MARIPOSA

    Si en un círculo trazamos una cuerda  AB  e  I  es su punto medio, y si  CD  y  EF  son dos cuerdas que pasan por  I  de modo que las cuerdas  CF  y  ED  cortan a  AB  en los puntos  G  y  H 

respectivamente, entonces  I  también es el punto medio del segmento  GH .

    Buscad una demostración tan hermosa como el teorema.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla presentó esta demostración (bonita bonita):

    Profe, mire. Si el círculo (que es una cónica) tiene por ecuación  p(x,y) = 0  y el par de rectas  CD  y  EF  (que es una cónica degenerada) tiene por ecuación  q(x,y) = 0  (p y q son polinomios de 2º grado), entonces el par de rectas  CF  y  ED  (otra cónica degenerada) tendrá por ecuación  t(x,y) = 0 , donde  t  es una combinación lineal de  p  y  q  ya que las tres cónicas pasan por los cuatro puntos C, D, E y F.

t(x,y) = p(x,y) + k · q(x,y)

    Supongamos que la recta  AB  es el eje  x  y que  I  es el origen de coordenadas, y así tenemos las coordenadas  A(–d,0) , B(d,0)  e  I(0,0) . Entonces podemos tomar 

p(x,0) = (x+d)·(x–d) = x² – d²     (dos raíces opuestas)

q(x,0) =  x²    (una raíz doble)

por lo que

t(x,0) = x² – d² + kx² = (1+k)x² – d²

tiene también dos raíces opuestas  –d/√(1+k)  y  d/√(1+k)  que son las abscisas de los puntos G y H respectivamente, por lo que I es efectivamebte el punto medio del segmento GH.

    ¿Algo que objetar?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso solo añadió que la demostración valía para una mariposa inscrita en cualquier tipo de cónica; y también valía si los puntos G y H se obtenían prolongando las cuerdas...