1519. Panales y panales. RESOLUCIÓN

    Sabíamos que se podía recubrir el plano con hexágonos regulares iguales... Bastaba ver un panal de rica miel... Era una forma de teselar, embaldosar, solar, alicatar, azulejar (o como quieras decirlo) un plano. En definitiva, cubrir el plano encajando perfectamente infinitos hexágonos idénticos sin solaparlos y sin dejar huecos... Pepe Chapuzas formuló la pregunta oportuna...

    Mire, profe. ¿Qué condiciones tiene que cumplir un hexágono convexo para que valga para teselar el plano?

    Investigad y contestad a Pepe...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no podía teselar el plano con cualquier hexágono. No siempre encajaban las piezas... Pero había tres tipos de hexágonos convexos que sí podían hacerlo...

    Mire, profe. Para que un hexágono convexo ABCDEF sea capaz de teselar el plano mediante copias idénticas es preciso que cumpla alguna de las tres siguientes condiciones...

    1) Que |AB| = |DE| y que AB || DE. Esto es, que dos lados opuestos sean iguales y paralelos. Esto implica que los ángulos cumplen que B+C+D = E+F+A = 360º.

    Encajan así:

    Evidentemente, los hexágonos regulares cumplen esta condición...

    2) Que |AB| = |DE|, que |CD| = |EF| y que B+C+E = D+F+A = 360º.

     Estos encajan así:

    También los hexágonos regulares cumplen esta condición...

    3) Que |AB| = |BC|, que |CD| = |DE|, que |EF| = |FA| y que B = D = F = 120º. 

    Que encajan...

    Y claro... los hexágonos regulares cumplen esta condición también...

    No cabe duda de que son panales muy raros..., pero como mosaicos o puzles están bien...

    ¿Podrían ser cóncavos los hexágonos? ¿Qué pasa con otros polígonos? ¿Pueden rellenar solitos el plano?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. No necesitan ser convexos los hexágonos para poder teselar el plano. En este ejemplo tenemos un hexágono cóncavo que satisface la primera condición...

    En este, un hexágono cóncavo que satisface la segunda condición...

    Y en este, uno que satisface la tercera condición...

    Y... finalmente un hexágono cóncavo que no cumple ninguna de las condiciones pero que tesela el plano:

    Yoyó Peluso comentó además que cualquier triángulo, aunque fuera escaleno, y cualquier cuadrilátero, aunque fuera un trapezoide, podía teselar el plano... Sin embargo, no se podía teselar el plano con ningún polígono convexo de más de 6 lados... Con pentágonos convexos la cosa resultaba más difícil: había 15 tipos capaces de hacerlo, esto es, 15 condiciones diferentes que permitían el teselado... Bastaba con que un pentágono convexo cumpliera una de esas 15 condiciones... Los 15 tipos se habían ido encontrando y describiendo poco a poco desde 1918 hasta 2015... ¡Se tardó casi un siglo! Y ya en 2017 se demostró que no había más posibilidades...