698. A las ocho y cuarto. RESOLUCIÓN

    Oí en clase que varios alumnos susurraban "a las ocho y cuarto" así que tuve que poner orden preguntando si no era un poco tarde para quedar... El murmullo cesó y Pepe Chapuzas intervino con la siguiente excusa:

    Mire, profe. Las ocho y cuarto no es una hora sino un punto de la recta real:  8 + 1/4 = 33/4 . Mejor dicho, un punto del eje de abscisas:  P (33/4, 0) ... Y estábamos planteando cuál sería el punto  Q  de la parábola  f(x) = x²  más próximo a  P ...

    No podía creérmelo, pero ya se sabe... Una vez planteado el reto, no quedaba más remedio que resolverlo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla minimizó la distancia:

    Profe, mire. La distancia desde el punto (33/4, 0) hasta un punto de la parábola (t, t²) se puede calcular con el teorema de Pitágoras: 

√ ( (t – 33/4)² + (t²)² )  =  √( t² – 33/2 · t + 33²/4² + t⁴ )

    Podemos minimizar el radicando  r(t)  =  t² – 33/2 · t + 33²/4² + t⁴  anulando su derivada: 

r ' (t)  = 4t³ + 2t – 33/2  =  0

t³ + 1/2 · t  =  33/8

    (La solución minimiza la distancia porque la segunda derivada  r " (t)  =  12t² + 2  >  0 .)

    La fórmula de Cardano para resolver la ecuación  t³ + 3p t  =  2q   es

    Aquí,  p = 1/6  y  q = 33/16 . Introduciendo los datos en una calculadora obtenemos 

t  =  ³√( 33/16 + √(33²/16²+1/6³) ) +  ³√( 33/16 – √(33²/16²+1/6³) )  =  3/2

    Comprobamos la solución con la regla de Ruffini:

y de paso que no hay más soluciones reales...

discriminante  =  6² – 4·4·11 = – 140 < 0

    El punto más próximo es  Q(3/2, 9/4) .

    Nina controla la optimización, pero... ¿se podrá calcular  Q  sin optimizar?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso planteó el problema de otra manera:

    Mire, profe. Si  Q (t, t²)  es el punto de la parábola  f(x) = x²  más próximo a  P (33/4, 0) , entonces  P  estará en la recta normal de la parábola que pasa por  Q . La ecuación de dicha recta será:

n(x)  =  f(t) – (x–t) / f '(t)
n(x)  =  t² – (x–t) / (2t)
n(x)  =  t² – x / (2t) +1/2

    Por tanto

0  =  t² – 33/(8t) + 1/2

0  =  t³ + t/2 – 33/8

que es la misma ecuación que encontró Nina...

    Dejamos al lector la justificación de este método...