699. La elipse dorada. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas había dibujado una elipse a partir de dos círculos concéntricos. Era el típico ejercicio de Dibujo Técnico... Pero Pepe traía un problemita..., ¡cómo no!

    Profe, esta elipse dorada no es una elipse cualquiera. Resulta que su área es igual a la diferencia entre las áreas de los círculos (la corona dorada)... ¿Cuál es la excentricidad de esta elipse?

    Calcula dicha excentricidad y comprueba que la elipse no era dorada por casualidad...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo los cálculos:

    Profe, mire. Si los semiejes mayor y menor de la elipse miden  a  y  b  respectivamente, entonces tenemos que el área de la elipse mide  πab  y las áreas de los círculos  πa²  y  πb² , así pues...

πab  =  πa² – πb²

dividiendo entre πb²

a/b  =  (a/b)² – 1

(a/b)² – a/b – 1  =  0

a/b  =  (1 + √5) / 2  =  φ

    La razón entre los semiejes es la razón áurea (por eso la elipse era dorada). Si  c  es la semidistancia focal, la excentricidad es

c/a  =  √(a²–b²) / a  = √(a²/b²–1) / (a/b)  =  √(φ²–1) / φ  =  √φ / φ  = 1/√φ

    Nina añadió que la elipse dorada guardaba muchos secretos... ¿Quién quiere desvelarnos alguno?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Ya sabemos cuál es la relación entre la semidistancia focal  c  y los semiejes  a  y  b  de una elipse: a²  =  b² + c² . Dicho de otra manera,  a ,  b  y  c  son los lados de un triángulo rectángulo. Pero, en la elipse dorada, no se trata de un triángulo rectángulo cualquiera... Según los cálculos de Nina, los lados  a ,  c  y  b  son directamente proporcionales a  φ ,  √φ  y  1 . Dicho de otra manera, el triángulo de lados  a ,  c  y  b  es un triángulo de Kepler, esto es, un triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica... y la razón de la progresión es la excentricidad de la elipse.