697. Falso atajo. RESOLUCIÓN

    Para ir de A a B, una hormiga iba a veces por el camino azul, otras por el verde y otras por el atajo rojo. Es obvio que los caminos azul y verde tienen la misma longitud porque ACBD es un rectángulo... pero también el camino rojo tiene esa misma longitud... ¡Un falso atajo! ¿Cuál sería entonces la razón entre los lados del rectángulo?

    La hormiga de Pepe Chapuzas era más lista de lo que parecía: le daba igual ir por un camino que por otro...
    Un positivo para el que calcule la razón...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Todos los triángulos DAC, CBD, DFA, AFC, CEB y BED son semejantes. Como piden una razón  x  entre lados puedo suponer que un segmento mide 1 y calcular los demás en función de  x . El teorema de Pitágoras también es necesario...

    Planteamos la ecuación 

camino rojo = camino azul

x + x² – 1 + x  =   x √(x² + 1) + √(x² + 1)

x² + 2x – 1  =   (x + 1) √(x² + 1)

elevando al cuadrado...

x⁴ + 4x³ + 2x² – 4x + 1  =  (x² + 2x + 1) (x² + 1)

x⁴ + 4x³ + 2x² – 4x + 1  =  x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1

2x³  =   6x

y dividiendo entre  2x ...

x²  =   3

x  =  √3

    Nina Guindilla calculó la razón... Comprueba que los caminos tienen la misma longitud...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó:

    Profe, mire. Podemos tomar como unidad de longitud el segmento marcado como 1. Entonces, el camino azul rojo mide

 x² + 2x – 1  = 3 + 2√3 – 1  =  2 + 2√3

y el camino azul mide

 x √(x² + 1) + √(x² + 1)  =  √3 · √4 + √4  =   2 + 2√3

    Profe, puedo fabricar un rectángulo así con dos cartabones: