689. La cuerda quebrada. RESOLUCIÓN

    Ese día en clase, hablando deprisa como siempre, en vez de "línea poligonal" se me escapó "línea quebrada"... Comenté que eran la misma cosa y que la terminología matemática se va "modernizando" y los profes, de paso, "también"..., pero que los nombres antiguos permanecían en la memoria... Añadí que... ¡a nadie se le ocurriría cambiarle el nombre al teorema de "la cuerda quebrada"! (Se me volvió a escapar.) Me había olvidado de que esas cosas ya no se enseñan porque las Matemáticas se habían modernizado demasiado... Esas cosas ya no interesaban a demasiada gente... pero sí a unos pocos: bastaba mirar la cara de Pepe Chapuzas para comprobarlo... Al día siguiente Pepe ya sabía de qué iba el asunto de la cuerda quebrada:

    Mire, profe, de lo que me he enterado. Una línea quebrada es una línea poligonal: una cadena de segmentos. Las más sencillas están formadas por dos segmentos  AB  y  BC . Una línea poligonal, perdón, quebrada  ABC  se puede inscribir en un arco de circunferencia que empieza en  A , pasa por  B  y termina en  C  (el centro de este arco es el circuncentro del triángulo  ABC , claro). Por este motivo una línea quebrada de dos segmentos se denomina cuerda quebrada...

    El teorema de la cuerda quebrada dice que la proyección perpendicular  P  del punto medio  M  del arco  AC  sobre el segmento mayor (aquí  BC ) es el punto medio de la cuerda quebrada  ABC.  Es decir,  el punto  P  biseca la cuerda quebrada:

| AB | + | BP |  =  | PC |

    (Si los segmentos  AB  y  BC  fueran iguales el teorema sería trivial...)

    Pepe no aportó ninguna demostración del teorema. ¿Te atreves?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. 

    Sea  MN , la cuerda paralela a  BC  que pasa por  M .
    Sea  Q  a la proyección perpendicular de  N  sobre  BC .
    Como son iguales los arcos

(AM)  =  (MC)    y    (BM)  =  (NC)

entonces

(AB)  =  (AM) – (BM)  =  (MC) – (NC)  =  (MN)

por lo tanto son iguales los segmentos

| AB |  =  | MN |

y como también

 | MN |  =  | PQ |    y    | BP |  =  | QC |

tenemos

 | AB | + | BP |  =  | PQ | + | QC |  =  | PC |

    "Como queríamos demostrar" le faltó decir a Nina Guindilla...

    Comenté que había otro resultado curioso relacionado con la cuerda quebrada...

    Si  D  es el punto medio del segmento  AC , entonces la suma de las áreas de los triángulos  ADB  y  BPM  es igual al área del triángulo DCM:

[ADB] + [BPM]  =  [DCM]

    ¿Quién se atreve ahora?

RESOLUCIÓN

    Profe, el dibujo parece un velero... Hay que demostrar que las áreas rosa y lila son iguales...

    Sea  H  el punto simétrico de  B  respecto de  P . Entonces  |BP| = |PH|  y con el teorema de la cuerda quebrada tenemos que  |AB| = |HC| , y como  |AM| = |CM|  y  |BM| = |HM| , tenemos que los triángulos  BAM  y  HCM  son congruentes y por tanto sus áreas son iguales:

[BAM]  =  [HCM]

    Sigamos la siguiente cadena de igualdades de áreas en el dibujo:

[ADB] + [BPM]  =

=  [ACB] : 2 + [BHM] : 2  =

=   ( [ACB] + [BHM] ) : 2  =

=  ( [ACB] + [BHM] + [HCM] – [BAM] ) : 2  =

=  [ACM] : 2  =

=  [DCM]

    Yoyó Peluso supo navegar con el velero...