690. La cuchilla del zapatero. RESOLUCIÓN

    Cada alumno tenía que exponer un tema de Geometría y le tocó el turno a Pepe Chapuzas:

    Mire, profe. El árbelos es una figura geométrica limitada por tres semicircunferencias que son tangentes entre sí (dos a dos) y que tienen sus centros y sus puntos de tangencia alineados... Esta figura se asemeja a las cuchillas de los zapateros, que es precisamente lo que significa en griego "árbelos"... 

    Los árbelos se han estudiado desde la antigüedad. Entre las muchísimas propiedades que se han demostrado a lo largo de la historia tenemos las siguientes:

    a) La longitud del borde convexo es igual a la suma de las longitudes de los bordes cóncavos.
    b) El área de un árbelos es igual a la de la elipse de semiejes los radios de las dos semicircunferencias más pequeñas.
    
    Pepe demostró las dos propiedades. ¡Demuéstralo tú también!

SOLUCIÓN 

    Nina Guindilla demostró la propiedad  a) :

    Mire, profe. Si  R  es el radio de la semicircunferencia mediana y  r  el de la pequeña (es posible que  R = r ), entonces el radio de la semicircunferencia grande es  R + r . La longitud de la semicircunferencia grande (el borde convexo) será  π · (R + r)  =  π · R + π · r , que es la suma de las longitudes de las circunferencias mediana y pequeña (los bordes cóncavos).

    La propiedad  b)  es más difícil de demostrar, ¿verdad?

RESOLUCIÓN

    A Yoyó Peluso le tocó demostrar la propiedad  b) ...

    Profe, mire. Si dibujamos el árbelos simétrico respecto de la recta que pasa por los centros y los puntos de tangencia de las semicircunferencias tenemos que el área del círculo grande medirá

π · (R + r)²  =  π · (R² + r² + 2Rr)  =  π · R² + π·r² + 2·π·R·r

    Como  π·R²  y  π·r²  son las áreas de los círculos mediano y pequeño, entonces el área del árbelos será  π·R·r , que es el área de una elipse de semiejes  R  y  r .

    Yoyó terminó diciendo que  π·R·r  también era el área de un círculo de radio la media proporcional de  R  y  r , o sea,  √(R·r) , e hizo el siguiente dibujo:

    Profe, mire. Las áreas verde y azul son iguales... Por el teorema de las cuerdas, el círculo azul tiene de diámetro la media proporcional de los diámetros  2R  y  2r , por lo que el radio del círculo azul medirá  √(2R·2r) / 2  =  √(R·r) .