688. Cónicas balísticas... RESOLUCIÓN

    Habíamos hablado acerca de la trayectoria balística: ¡una parábola! También habíamos hablado de la altura máxima y el alcance máximo horizontal del proyectil a partir de la velocidad inicial y el ángulo de tiro. Pepe Chapuzas dibujó "más o menos... a ojo" en su cuaderno varias trayectorias de un mismo proyectil con la misma velocidad inicial pero variando el ángulo de tiro... Unió los puntos de altura máxima y...

    Profe. ¿Los puntos de altura máxima están en una elipse?

    Investígalo y calcula la excentricidad de dicha elipse.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con las ecuaciones de la trayectorias...

    Mire, profe. Si la velocidad inicial es  "V"  y el ángulo inicial es "θ "; si "g" es la aceleración gravitatoria y "t" es el tiempo trascurrido desde el disparo; y si "x" es la abscisa del proyectil y "y" es su ordenada (altura); entonces tenemos...

x = V · cos θ  · t   (movimiento uniforme de la abscisa)

y = V · sen θ  · t  –  g · t ² / 2   (movimiento uniformemente acelerado de la ordenada)

    Eliminiando  t  =  x / (V · cosθ )  obtenemos

y  =  x · tg θ   –  g · x ² / (2V ² · cos ²θ )    (parábola balística)

    El alcance máximo horizontal se encuentra en  y = 0 ,  ( x > 0 ).

x · tg θ   –  g · x ² / (2V ² · cos ²θ )  =  0
tg θ   –  g · x / (2V ² · cos ²θ )  =  0
x  =  tg θ  · 2V ² · cos ²θ  / g =   2V ² · sen θ  · cos θ  / g

    La altura máxima se alcanza en el punto de coordenadas...

X = V ² · sen θ  · cos θ  / g  (la mitad del alcance máximo horizontal)
Y  =  V ² · sen θ  · cos θ  / g · tg θ   –  g · (V ² · sen θ  · cos θ  / g) ² / (2V ² · cos ²θ )  =
=  V ² · sen ² θ  / g – V ² · sen ² θ  / g  =

=  V ² · sen ²θ / (2g)

    Teniendo en cuenta que...

sen (2θ )  =  2 · sen θ  · cos θ  =  2 g · X / V ²
cos (2θ )  =  1 – 2 · sen ²θ  =  1 – 4 g · Y / V ²

...y aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría

1  =  sen ² (2θ ) + cos ² (2θ )  =  (2 g · X / V ²)² + (1 – 4 g · Y / V ²)²

    Y si llamamos  b = V ² / (4g)  llegamos a la ecuación...

X ² / (2b)²  +  (Y – b)² / b²  =  1

...que es la ecuación de una elipse centrada en  (0, b)  con semieje mayor  2b , semieje menor  b  y  semidistancia focal...

c = √(4b² – b²) = √3 · b

...y por lo tanto su excentricidad es...

e = c / (2b) = √3/2

    Nina Guindilla añadió que en el espacio de tres dimensiones no sería una elipse sino un elipsoide de revolución. Además, comentó que todas las trayectorias (arcos de parábolas) estarían "dentro" de un paraboloide de revolución llamado paraboloide de seguridad (porque los proyectiles no pueden traspasarlo y estaríamos a salvo). 

    Investiga el asunto...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo un dibujo y razonó en dos dimensiones: en vez de paraboloide tendría una parábola, más "manejable", que sería la generatriz del paraboloide de revolución...

    Mire, profe. La parábola de seguridad tendría su vértice en  (0, 2b)  porque la máxima altura se alcanza con  θ = 90º , y sus raíces en  (4b , 0)  y  (–4b , 0)  porque el máximo alcance horizontal se alcanza con  θ = 45º  y  θ = 135º . Por lo tanto la ecuación de la parábola de seguridad sería...

y  =  –  x² / (8b) + 2b

....y el foco de la parábola se encontraría en el punto  (0, –b) .

    Yoyó hizo los cálculos demasiado rápido... pero aún le faltaba demostrar que la curva roja era realmente una parábola... ¡Esa parábola precisamente!

    Profe, mire. Podemos escribir la ecuación de las trayectorias balísticas así...

y  =  x · tg θ   –  x ² / (8b · cos ²θ )

y  =  x · tg θ   –  x ² / (8b) · (1 + tg ²θ )

...la cual, llamando  w  =  tg θ  , quedaría:

y  =  x · w  –  x ² / (8b) · (1 + w ² )   (*)

    Para calcular la envolvente de todas las trayectorias solo hay que derivar respecto de  w ...

0  =  x  –   x ² / (4b) · w

...o sea:

w  =  4b / x

    Y sustituyendo  w  por  4b / x  en (*) tendríamos...

y  =  4b  –  x ² / (8b) · (1 + 16b ² / x ²)

y  =  4b  –  x ² / (8b)  – 2b

y  =  –  x² / (8b) + 2b

    Yoyó ha utilizado técnicas "elevadas", pero tratándose de balística... permitiremos los "cañonazos" y la "buena puntería"...