687. Comparando áreas. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas trajo el siguiente dibujo y la siguiente pregunta:

    ¿Qué área es mayor, la azul o la naranja?

    La respuesta no se hizo esperar...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla saltó:

    Mire, profe. ABCD es un paralelogramo y AC una de sus diagonales, por lo que los triángulos ABC y CDA son congruentes. Como K está en la diagonal AC, también son congruentes AEK y KHA por un lado, y KFC y CGK por otro. Como las figuras congruentes tienen la misma área...

área naranja =

= área (ABC) – área (AEK) – área (KFC) =

= área (CDA) – área (KHA) – área (CGK) =

= área azul

    Como a Nina le supo a poco el problemita, atacó con todo un clásico...

    ¿Qué área es mayor, la verde o la rosa?

RESOLUCIÓN

    Era el turno de Yoyó Peluso...

    Profe, mire. Entre el área verde y el área rosa existe un segmento circular que tendrá cierta área  S . El área verde será un cuarto del círculo grande menos  S  y el área rosa será la mitad del círculo pequeño menos  S . Si llamamos  R  al radio del círculo grande, el radio del círculo grande medirá (teorema de Pitágoras)  √(R² + R²) / 2  =  R / √2 , y entonces...

área verde  =  π · R² / 4 – S  

área rosa  =  π · (R / √2)² / 2 – S  =  π · R² / 4 – S

    Por lo que las áreas verde y rosa son iguales. Y como el área verde es un triángulo, su área medirá  R² / 2 .

    Yoyó añadió que el área rosa se llamaba lúnula y que las lúnulas fueron estudiadas por Hipócrates. Terminó con el problema de las lúnulas de Alhacén:

    Mire, profe. Todo triángulo rectángulo tiene la misma área que la suma de las áreas de las lúnulas que se forman entre su circunferencia circunscrita y las semicircunferencias sobre los catetos. La demostración es similar...