686. Cuarteando cuadriláteros... RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Si cogemos un cuadrilátero convexo y trazamos los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos, entonces estamos cuarteando el cuadrilátero, es decir, lo dividimos en cuatro partes. Por ejemplo

   ¿Sabría demostrar que el área verde y el área naranja miden lo mismo?

     Este Pepe Chapuzas poniendo a prueba al personal... En fin, ¿sabrías demostrarlo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla unió con segmentos los puntos medios de lados contiguos del cuadrilátero para obtener el paralelogramo de Varignon...

    Mire, profe. Si al cuadrilátero le quitamos su paralelogramo de Varignon quedan cuatro triangulitos... 

    Como los lados del cuadrilátero de Varignon son paralelos a las diagonales del cuadrilátero, cada triangulito anterior es semejante a uno de los triangulotes en que una de las diagonales divide el cuadrilátero...

    Y el área de cada triangulito es 1/4 del área del triangulote semejante, por lo que la suma de las áreas de los triangulitos verdes es 1/4 del área del cuadrilátero. Y lo mismo podemos decir de los naranjas. Y por tanto el área del paralelogramo de Varignon es 1/2 del área del cuadrilátero.

    Por otro lado, las diagonales del paralelogramo de Varignon dividen a este en cuatro triánguletes con la misma área, con lo que la suma de los trianguletes verdes es también 1/4 del área del cuadrilátero. Y lo mismo podemos decir de los naranjas. De donde se tiene la solución del problema de Pepe: el área verde y el área naranja son iguales (a 1/2 el área del cuadrilátero).

    Cuando terminó, Nina Guindilla propuso buscar información acerca del paralelogramo de Wittenbauer y su relación con el paralelogramo de Varignon...

RESOLUCIÓN

    Veamos lo que encontró Yoyó Peluso:

    Profe, mire. Trisequemos las cuatro aristas de un cuadrilátero convexo mediante 8 puntos. Tracemos ahora las rectas que pasan por los puntos de trisección de las parejas de aristas contiguas más próximos a los vértices del cuadrilátero. Esas rectas delimitan un paralelogramo llamado de Wittenbauer. 

    Yoyó añadió...

    El área de este paralelogramo es 8/9 del área del cuadrilátero. El centro de este paralelogramo es el baricentro del cuadrilátero. Los lados de este paralelogramo son paralelos a los del paralelogramo de Varignon.

    Y adjuntó un dibujito chapucero en el que se entreveía el cuadrilátero original en verde y naranja, el paralelogramo de Wittenbauer en lila y el paralelogramo de Varignon en rosa. E incluyó el baricentro  G . ¡Buen provecho!

    (El lector puede investigar por su cuenta lo que ocurre si el cuadrilátero no es convexo.)