660. Los vértices del cubo. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas dice que tiene 3 vértices de un cubo: A(1,3,4), B(3,1,3) y C(5,2,5). ¿Quién le puede dar los otros 5 vértices sabiendo que todas las coordenadas son positivas?

    Mire, profe. En el plano, si las coordenadas son positivas decimos que el punto está en el primer cuadrante. ¿En el espacio estaría en el primer octante?

    La respuesta era afirmativa. Los planos coordenados dividen el espacio en 8 octantes, pero, a diferencia del plano donde los cuadrantes están numerados, en el espacio no lo están... Llamamos primer octante al conjunto de puntos del espacio que tienen sus tres coordenadas positivas pero para los demás octantes no hay ningún acuerdo... ¿Cómo los numerarías tú?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Lo primero que voy a investigar es qué trío de vértices del cubo tienen Pepe, porque hay tres posibilidades: o hay una cara que tiene los tres vértices dados, o hay caras que tienen dos de los vértices pero no tres, o ninguna cara tiene más de uno de los tres vértices... (En el primer caso los vértices determinan un triángulo rectángulo isósceles, en el segundo uno rectángulo escaleno y en el tercero uno equilátero.)

    Los vectores AB = (2, –2, –1) y BC = (2, 1, 2) son ortogonales porque AB·BC = 2·2–2·1–1·2 = 0, y tienen el mismo módulo |AB| = |BC| = √9 = 3, por lo tanto estamos en la primera posición: hay una cara que tiene los tres vértices A, B y C. Las coordenadas del cuarto vértice D de esa cara es fácil de calcular OD = OA+BC = (1, 3, 4) + (2, 1, 2) = (3, 4, 6). Ahora faltarían los vértices de la cara opuesta... Habría dos juegos de soluciones {A', B' C', D'} y {A", B", C", D"}, que se pueden obtener mediante traslación perpendicular de {A, B, C, D}. El vector AA' = ABxBC/3 = (–1, –2, 2) me proporciona A'(0, 1, 2) que no vale porque las coordenadas tienen que ser positivas, por lo tanto trabajo con AA" = –AA' = (1, 2, –2) que me proporciona los vértices A"(2, 5, 2), B"(4, 3, 1), C"(6, 4, 3) y D"(4, 6, 4), cuyas coordenadas son todas positivas.

    Nina Guindilla no ha numerado los octantes del espacio... ¿Cómo lo harías tú?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso sí se ha atrevido a ordenar los octantes... con el código Gray. Aunque yo no veo que los octantes estén así demasiado ordenados...

    Mire, profe. Yo ordenaría los octantes del espacio como el código Gray... Me explico. El orden del código Gray para dos bits es 00 01 11 10, que se puede relacionar con el orden de los cuadrantes del plano: el primer bit indicaría la ordenada y el segundo la abscisa; el 0 indicaría positivo y el 1 negativo. Pues bien, el orden del código Gray para tres bits es 000 001 011 010 110 111 101 100. Si el primer bit indica el eje Z, el segundo el eje Y y el tercero el eje X, los octantes del espacio estarían ordenados como se indica en el dibujo. El octante VI no está indicado en el dibujo  pero es el opuesto del octante I.