661. Ángulos y peces. RESOLUCIÓN

    Empecé el tema de ángulos intentando averiguar que nociones habían asimilado mis alumnos del curso pasado... En la pizarra dibuje 2 ángulos... y pregunté cuál de ellos era mayor... Para sorpresa mía hubo discrepancia de opiniones... (Reconozco cierta malicia en el dibujo.)

    Pepe Chapuzas salió a la pizarra para terminar de arreglarlo...

    El pez grande (ángulo pequeño) se come al pez pequeño (ángulo grande).

    En fin, ya serios pregunté a Pepe si recordaba la demostración de que en un círculo, un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco...

    ¿Recuerdas tú la demostración?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla recordaba perfectamente esta demostración... en tres pasos:

    1º. Si "por casualidad" un lado del ángulo inscrito es un diámetro del círculo entonces el ángulo gamma = 180º – beta = 180º – (180º – 2·alfa) = 2·alfa.

    2º. Si el centro del círculo cae entre los lados del ángulo inscrito, se puede partir este por un diámetro: alfa = alfa' + alfa". Si aplicamos el paso 1º a alfa' y a alfa", entonces el ángulo central medirá 2·alfa' + 2·alfa" = 2·alfa.

    3º. Si el centro del círculo no cae entre los lados del ángulo inscrito alfa, podemos adosarle a alfa un ángulo delta tal que el centro del círculo sí quede entre sus lados. A delta y a alfa+delta podemos aplicarles el paso 2º: de modo que el ángulo central asociado a alfa = (alfa+delta)–delta será 2·(alfa+delta)–2·delta = 2·alfa.

    ¿Te acuerdas de los ángulos interiores y exteriores del círculo?

 

RESOLUCIÓN

 

    Yoyó Peluso nos refrescó la memoria con estos dos resultados...

    Pero no incluyó ninguna demostración que se podía hallar fácilmente en cualquier texto clásico de Geometría. Lo que hizo fue combinar ambos para obtener el siguiente resultado a partir de un ángulo interior y uno exterior de un círculo que abarcan los mismos arcos (o a partir de dos ángulos centrales):