659. Entre barras... RESOLUCIÓN

    Hoy tocaba explicar la distancia entre dos rectas que se cruzan. Cuando escribí en la pizarra la fórmula con tiza blanca, vi que Pepe Chapuzas la había copiado en su cuaderno con bolígrafos de varios colores...

    Mire, profe. En esta fórmula hay demasiadas barras, ¡cuatro parejas ni más ni menos!, y como cada pareja significa una cosa diferente... pues las he pintado de diferente color... Así, las barras rojas indican un determinante..., ¡un "auténtico" determinante de orden 3! El resultado del determinante es un número (el producto mixto de 3 vectores), por lo que las barras verdes encierran un número: las barras verdes indican el valor absoluto... Las barras azules indican un "falso" determinante... Digo "falso" porque dentro hay números y vectores... y el resultado es un vector (el producto vectorial de 2 vectores)... Entonces las barras moradas indican el módulo de un vector... ¡Vaya lío! ¡Y todo en una fórmula!

    Haz los cálculos del ejemplo ilustrativo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla fue haciendo los cálculos con orden...

    Mire, profe. El producto mixto (barras rojas) lo calculo con la regla de Sarrus: 

2·0·1+4·3·(–1)+2·1·0–(–1)·0·0–2·3·1–2·4·1 = –12–6–8 = –26

    El valor absoluto (barras verdes) es tan solo quitar el signo:

|–26| = 26

    El producto vectorial (barras azules) lo calculo desarrollando por la 1ª fila:

(0·1–1·3, 1·0–4·1, 4·3–0·0) = (–3, –4, 12)

    Y el módulo (barras moradas) de este vector es:

|(–3, –4, 12)| = √(–3)+(–4)+12) = √169 = 13

    La distancia entre las rectas es, por lo tanto, 26/13 = 2 unidades de longitud.

    Explica la fórmula que ha traído Pepe Chapuzas.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El numerador es el valor absoluto de un producto mixto, por lo tanto es el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores. El denominador es el módulo de un producto vectorial, por lo tanto es el área del paralelogramo determinado por los dos vectores, esto es, de la base del paralelepípedo. Al dividir el volumen del paralelepípedo entre el área de su base obtenemos la altura del paralelepípedo respecto de esa base..., que es justamente la distancia entre las rectas.

    Yoyó Peluso dio una segunda explicación:

    Mire, profe. Esta fórmula se puede escribir así: 

|[(2,2,–1), (4,0,1), (0,3,1)]| / |(4,0,1)x(0,3,1)| = | (2,2,–1) · ((4,0,1)x(0,3,1)) |  /  |(4,0,1)x(0,3,1)|
 

    Esto es, como la proyección de un vector que conecta un punto de cada recta sobre la perpendicular común a las rectas..., que es justamente la distancia entre las rectas.