867. Parábolas en la vida. RESOLUCIÓN

    Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos de parábolas en sus vidas y las respuestas fueron las de siempre: trayectorias de balones de fútbol, chorros de agua en las fuentes..., incluso las antenas parabólicas fueron mencionadas. Para Pepe Chapuzas las Matemáticas forman parte de su vida por lo que su respuesta fue muy diferente: las parábolas de Apolonio, las parábolas de Arquímedes... Aprovechando la respuesta de Pepe propuse como tarea de casa que demostraran el siguiente resultado de Arquímedes...
    "Si s y t son dos rectas paralelas, s secante a una parábola en los puntos A y B, y t tangente a la parábola en el punto C, entonces el área del triángulo ABC es 3/4 del área encerrada entre la parábola y la recta secante".

    Se suponía que tenían que utilizar la integral definida y la regla de Barrow para resolver el ejercicio pero Pepe mostró cómo lo había descubierto Arquímedes...

    Investiga y resuelve el ejercicio.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Como todas las parábolas son semejantes puedo suponer sin perder generalidad que la ecuación es p(x)=x². Sean dos puntos A(a,a²) y B(b,b²) de la parábola, con a < b. La recta que pasa por A y por B tiene pendiente (b²–a²)/(b–a) = a+b, y el punto C(c,c²) de la parábola donde la tangente es paralela a AB cumplirá p'(c) = 2c = a+b, por lo que c=a/2+b/2. Sean D(a,0), E(b,0) y F(a/2+b/2,0) las proyecciones de A, B y C sobre el eje de abscisas... Resulta que F(a/2+b/2,0) es el punto medio de DE. Sea G(a/2+b/2,a²/2+b²/2) el punto medio de AB...
    La distancia de D a E es b–a y la distancia de C a G es a²/2+b²/2 – a²/4–b²/4–ab/2 = (b–a)²/4, por lo que el área del triángulo ABC es (b–a)³/8.
    El segmento parabólico es el trapecio ABED menos el área bajo la parábola. Una primitiva de p es P(x)=x³/3 así que el segmento parabólico medirá (b–a)(a²+b²)/2 – b³/3 + a³/3 = (b–a)³/6.

    Nina Guindilla ha hecho los deberes pero... ¿cómo lo haría Arquímedes?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró en Internet el método que utilizó Arquímedes... Veamos la aportación de Yoyó:

    Ya sabemos que el área del triángulo (morado) es proporcional al cubo de su proyección sobre la directriz de la parábola (en el dibujo se ha hecho sobre el eje de abscisas). Entre el segmento parabólico y el triángulo se forman 2 segmentitos parabólicos. Podemos inscribir en ellos 2 triangulitos (amarillos) de forma análoga. Como la proyección de cada triangulito amarillo es 1/2 de la proyección del triángulo morado, el área amarilla es 1/2³+1/2³ = 1/4 del área morada. Si repetimos el proceso con más triangulitos... se va rellenando el segmento parabólico inicial con una progresión geométrica de áreas de razón 1/4. Por lo tanto, el área del segmento parabólico es la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica, es decir, 1/(1–1/4) = 4/3 del área del triángulo morado (que es el primer término).