866. El quebrado traicionero. RESOLUCIÓN

    Llama la atención que la suma de fracciones sea más difícil que la multiplicación... ¡Qué le vamos a hacer! Y todos los años pasa lo mismo... No se puede evitar... Tarde o temprano se cuela en algún examen algún "quebrado traicionero"... (Aquí tenéis un ejemplo.)

    Como habréis imaginado, no era el examen de Pepe Chapuzas el que contenía tamaña chapuza... De hecho en los apuntes de Pepe encontré lo siguiente...

    Pepe indicaba que, en este razonamiento, los numeradores a y c eran números enteros y que los denominadores b y d eran números naturales, y había anotado que el "quebrado traicionero" (a+c)/(b+d) era una media ponderada de las fracciones a/b y c/d...

    Comprueba los cálculos de Pepe e interpreta el dibujo.

    ¿Qué ocurriría si algún denominador fuera negativo (o nulo)? Analiza todas las posibilidades...

    Encuentra todas las soluciones de a/b + c/d = (a+c)/(b+d).

    Si quieres profundizar más en el tema busca información sobre los círculos de Ford y la sucesión de Farey.

SOLUCIÓN

    Lo primero que hizo Nina Guindilla fue comprobar que –4/10 + 9/15 = –0,4 + 0,6 = 0,2 al igual que (–4+9)/(10+15) = 5/25 = 0,2. Veamos como siguió:

    Mire, profe. Viendo el dibujito es fácil entender que (a+c)/(b+d) es una media ponderada de a/b y c/d. De hecho (a+c)/(b+d) = (a/b·b+c/d·d)/(b+d) por lo que los pesos de la media ponderada son precisamente los denominadores... siempre, claro está, que los denominadores sean ambos positivos. Si hay algún denominador negativo lo anterior deja de tener sentido (no digamos si fuera nulo), sin embargo los dibujitos siguen teniendo sentido, como en el siguiente ejemplo: 

    Nina dibujó otros casos... Investiga los casos en los que el denominador (b, d o b+d) se anula... Demuestra utilizando semejanza de triángulos que el dibujo de Pepe Chapuzas nos da la media ponderada... Pero sigamos con los razonamientos de Nina...

 

    Para resolver a/b + c/d = (a+c)/(b+d) quito denominadores... ad(b+d)+bc(b+d) = bd(a+c), quito paréntesis... abd+add+bbc+bcd = abd+bcd, y simplificando... ad²+b²c = 0, por lo tanto se tiene que cumplir que a/c = –(b/d)². Hay infinitas soluciones, pues.

 

    Escribe varias de las infinitas soluciones...

    Nina investigó acerca de los círculos de Ford y la sucesión de Farey...

 

    Para cada fracción irreducible a/b (a>0 y b>0) tenemos un círculo de Ford, que es el que tiene centro en (a/b,0.5/b²) y radio 0.5/b². Es fácil ver que un círculo de Ford es tangente al eje de abscisas en el punto (a/b,0) y que dos círculos de Ford solo pueden tener un punto común (en tal caso serían tangentes exteriores). Pues bien, si tenemos dos de estos círculos de Ford y sus fracciones irreducibles asociadas son a/b y c/d, entonces el círculo de Ford tangente a ambos está asociado a la fracción (a+c)/(b+d): ¡el quebrado traicionero!

    Para cada número natural n la sucesión de Farey está formada por las fracciones irreducibles p/q tales que 0<p<q<n. Para n=7 la sucesión sería: 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 y 5/6. Es fácil observar que para tres fracciones consecutivas, la del medio es el quebrado traicionero de las otras dos. Por ejemplo, para 3/5, 2/3 y 3/4 tenemos (3+3)/(5+4) = 6/9 = 2/3.

    Demuestra la disposición de los círculos de Ford. (Es un bonito ejercicio.)

    Escribe la sucesión de Farey para n=9.

 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso fue contestando una a una todas las propuestas...

 

    Profe, mire. Si b+d = 0, esto es, si b y d son opuestos, las rectas que me determinarían el quebrado traicionero son paralelas y no se cortan, o sea, que no hay quebrado traicionero, lo que concuerda con que no se puede dividir entre 0.

 

    Otro ejemplo de quebrado traicionero con sorpresa sería –16/12 + 25/15 = 9/27.

 

    El cuadrado de la distancia entre los centros de los círculos de Ford tangentes correspondientes a a/b y c/d (con a/b>c/d) sería (a/b–c/d)²+(0.5/b²–0.5/d²)² = (0.5/b²+0.5/d²)², o sea, a/b–c/d = 1/(bd), o sea, ad–bc=1. (Si ad–bc>1 los círculos de Ford no tendrían ningún punto común.) Si hacemos esta prueba con el quebrado traicionero (a+c)/(b+d), tenemos a(b+d)–b(a+c) = ab+ac–ba–bd = 1 y (a+c)d–(b+d)c = ad+cd–bc–dc = 1, por lo que el círculo de Ford asociado a (a+c)/(b+d) es tangente a los asociados a a/b y c/d.

 

    La sucesión de Farey para n=9 sería: 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7 y 7/8.