852. Un triángulo curvilíneo. RESOLUCIÓN

    Un día que estaba de guardia en clase vi que Pepe Chapuzas estaba dibujando un triángulo curvilíneo con el compás en su bloc de Dibujo. Creo que era una trampa para llamar mi atención... El caso es que, como advirtió que le observaba, aprovechó la situación para plantearme la siguiente cuestión:

    Profe, mire. Este triángulo ABC es un triángulo equilátero pero los lados no son segmentos de recta sino arcos de circunferencia. Para dibujar los 3 arcos hay que pinchar el compás en los tres vértices. Por ejemplo para dibujar el arco AB hay que pinchar el compás en C... La cuestión es... Si cada arco midiera 1m, ¿cuánto mediría el área del triángulo?

    Te espera un positivo si resuelves la cuestión planteada por Pepe. ¿Cuánto mediría el área de este triángulo curvilíneo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó el triángulo rectilíneo ABC...

    Profe, mire. El área del triángulo curvilíneo es la suma del triángulo rectilíneo más las áreas de los tres segmentos circulares... pero se puede calcular más fácilmente como el triple de un sector circular menos el doble del triángulo rectilíneo. Pero primero voy a calcular el radio r (y la cuerda) del arco de circunferencia: Si 2πr = 6 entonces r = 3/π. El área del sector circular sería πr²/6 = 3/2/π y la del triángulo rectilíneo r²√3/4 = 9√3/4/π². Por lo tanto el área del triángulo curvilíneo será 9/2/π – 9√3/2/π² = 0.642674 m².

    Repasa los cálculos de Nina...

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Para que no quede ninguna duda...

    ¿Queda alguna duda con la lámina de Yoyó Peluso?
    Comenté, para terminar, que este triángulo curvilíneo se denominaba triángulo de Reuleaux y que tenía la propiedad de tener anchura constante... por mucho que lo giráramos;

que el teorema de Barbier permitía calcular esa anchura a partir del perímetro: anchura = perímetro/π (en el caso del de Pepe y Nina, anchura = 3/π = 0,955 m); que había otros polígonos de Reuleaux con anchura constante (con una cantidad impar de lados: pentágono, heptágono, eneágono, endecágono...);

que con forma de polígono de Reuleaux había monedas que no se atrancaban en las máquinas tragaperras (por tener anchura constante) como las británicas de 50 peniques (heptagonales), y tapas de alcantarilla que no se colaban por el agujero (por tener anchura constante) como algunas de San Francisco (triangulares);

que había polígonos de Reuleaux irregulares y curvas de Reuleaux sin picos (de anchura constante por supuesto) formadas por arcos de circunferencia...

    Observé que Yoyó, nervioso, se impacientaba...

    Profe, ¿hay curvas de anchura constante que no estén formadas por arcos de circunferencia?

    Mi respuesta fue monosílaba: ¡sí!