851. ¡Sin bisectrices! RESOLUCIÓN

     Profe, mire. En un ejercicio de Dibujo hemos tenido que inscribir una circunferencia en un triángulo rectángulo sin trazar las bisectrices. El profe de Dibujo nos ha soplado que el diámetro de la circunferencia era igual a la suma de los catetos menos la hipotenusa del triángulo. ¿Es esto verdad?

    Le contesté a Pepe Chapuzas que sí era cierto pero que yo no pensaba demostrárselo. Al día siguiente Pepe trajo una preciosa demostración... mezclando Matemáticas y Dibujo...
    Realiza el dibujo sin trazar las bisectrices y demuestra este resultado... y te llevarás un positivo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se contentó con la parte de Dibujo:

    Completa tú la parte de Matemáticas... 
    En el dibujo de Nina no se aprecia cómo ha determinado r. ¿Cómo lo harías tú?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Con el dibujo de Nina está claro que a+b–c = a+b–((a–r)+(b–r)) = 2r.

    Yoyó Peluso no nos había revelado cómo se determinaba r y así se lo advertí... Entonces nos mostró su dibujito...

    Además dio un razonamiento matemático diferente de por qué a+b–c = 2r.

    Mire, profe. El área de un polígono regular se calcula multiplicando el semiperímetro por la apotema. Esta fórmula se puede generalizar a polígonos circunscritos en una circunferencia cambiando la apotema por el radio de tal circunferencia (la circunferencia inscrita):

    Como todo triángulo está circunscrito en su circunferencia inscrita el área se puede calcular así: A = r·(a+b+c)/2, pero este es un triángulo rectángulos por lo que también A = a·b/2. 
    Entonces, utilizando este resultado, el teorema de Pitágoras y las identidades notables resulta que (a+b–c)·(a+b+c) = (a+b)² – c² = a²+b²+2·a·b – c² = 2·a·b = 2r·(a+b+c), de donde se obtiene que a+b–c = 2r, como queríamos demostrar.