820. Un chicle por un polinomio. RESOLUCIÓN

    En clase se habían apostado un chicle por culpa de este polinomio. Pepe Chapuzas lo había sacado de no sé dónde y decía que se podía escribir como producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Algunos compañeros quisieron factorizarlo con la regla de Ruffini, pero como así no salía empezaron a sospechar que Pepe les estaba tomando el pelo. La cuestión acabó en porfía y en la ya famosa apuesta del chicle. Y tú... ¿por quién tomarías partido?

    Yo apuesto por Pepe, pero... ¡ojo! ¡En clase no quiero chicles! Escribe el polinomio como producto de dos polinomios con coeficientes enteros. En vez de un chicle te llevarás un positivo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla había apostado por Pepe... Se había escrito en la palma de la mano la solución y, guiñándome uno ojo, me la enseñó...

    Profe, mire: x⁵+x⁴+1 = (x²+x+1)(x³–x+1).

    Nina me dejó boquiabierto... No quiso confesarme cómo lo había conseguido... Presiento que Nina tiene un don para manejar polinomios... En fin, Nina se llevó el positivo y el chicle (para el recreo).
   Comprueba la solución de Nina y resuelve el problema de polinomios que propuso el día siguiente:

    Al dividir un polinomio P(x) entre x–1 el resto es 1, al dividir P(x) entre x–2 el resto es 3 y al dividir P(x) entre x–3 el resto es 9. Si dividimos P(x) entre (x–1)(x–2)(x–3), ¿el resto es...?

RESOLUCIÓN

    La comprobación de la factorización de Nina era sencilla:

    Para la segunda cuestión, Yoyó Peluso se explicó de la siguiente manera:

    Mire, profe. Por el teorema del resto sabemos que P(1)=1, P(2)=3 y P(3)=9. Al dividir P(x) entre (x–1)(x–2)(x–3), el cociente será un polinomio Q(x) y el resto será un polinomio R(x) tales que P(x) = (x–1)(x–2)(x–3)Q(x) + R(x). Está claro que R(1)=P(1)=1, R(2)=P(2)=3 y R(3)=P(3)=9 y que R(x) es un polinomio de grado menor que 3, o sea,  R(x) = ax² + bx + c, por lo que tenemos:

R(1) = 1 = a + b + c

R(2) = 3 = 4a + 2b + c

R(3) = 9 = 9a + 3b + c

Resolviendo este sistema por el método de reducción tenemos:

R(2)–R(1) = 2 = 3a + b

R(3)–R(2) = 6 = 5a + b

Y restando las ecuaciones de nuevo... 4 = 2a, de donde a = 2, b = –4 y c = 3, y el resto será por lo tanto R(x) = 2x² – 4x + 3