676. El tercer teorema japonés. RESOLUCIÓN

    En el bloc de dibujo de Pepe Chapuzas hay, como es natural, dibujos..., pero también, y esto es lo que nos interesa ahora, teoremas. Me llamó la atención este teorema relacionado con un dibujo de tangencias...

    Las tres circunferencias eran tangentes entre sí y a una recta... En el margen de la lámina se leía...

    Tercer teorema de Mikami y Kobayashi (o tercer teorema japonés). Si r, s y t son, de menor a mayor, los radios de las tres circunferencias, entonces 1/√r = 1/√s + 1/√t.

    Demuéstralo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó y coloreó tres triángulos rectángulos...

    Mire, profe. Por el teorema de Pitágoras, los tres lados del triángulo rectángulo azul son t+s, t–s y √((t+s)²–(t–s)²) = 2√(ts); los tres del verde son t+r, t–r y √((t+r)²–(t–r)²) = 2√(tr); y los tres del lila son s+r, s–r y √((s+r)²–(s–r)²) = 2√(sr). Por lo tanto 2√(ts) =  2√(tr) + 2√(sr) y, dividiendo todo entre 2√(tsr) nos queda 1/√r = 1/√s + 1/√t, que es lo que teníamos que demostrar...

    Si hay un tercer teorema japonés es porque hay un primero y un segundo... Búscalos...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó en su bloc los dos teoremas:

    Profe, mire. El primer teorema japonés afirma que si triangulamos un polígono convexo inscrito en un círculo a partir de un vértice, entonces la suma de las circunferencias inscritas en los triángulos no depende del vértice elegido.

    El segundo teorema japonés afirma que los incentros de los triángulos que se obtienen al partir un cuadrilátero inscrito en un círculo por una diagonal y los incentros del los triángulos que se obtienen al partirlo por la otra diagonal son vértices de un rectángulo.

675. Cortar con hacha de guerra. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le regalaron una auténtica hacha de guerra de la tribu Powhatan (la de Pocahontas)... Funcionaba como hacha de guerra (tomahawk) y como pipa de la paz (calumet).

    Me dio pie para hablar del problema clásico de la trisección del ángulo... Expliqué que en general era imposible trisecar un ángulo (dividirlo en tres partes iguales) con las herramientas básicas de dibujo (regla y compás)... Al día siguiente, Pepe tenía algo que decir... Había descubierto la relación entre el hacha de guerra y la trisección del ángulo...

    Profe, mire. Se puede construir con regla y compás una herramienta, llamada tomahawk por su parecido al hacha de guerra, con la que se puede trisecar ángulos... 

    Investiga y desentierra el hacha de guerra...

SOLUCIÓN

    Con una lámina de plástico azul transparente, Nina Guindilla se construyó un tomahawk para trisecar ángulos:

    Profe, mire. Lo importante es que el segmento s mida lo mismo que el radio r del semicírculo...

    Nina había desenterrado el hacha... Era un tomahawk precioso pero no nos explicó cómo funcionaba... Así que a ti te toca cortar... los ángulos.

RESOLUCIÓN

    Le di un ángulo a Yoyó Peluso... Y Yoyó tomo el hacha y la encajó entre los lados AB y AE y el vértice A del ángulo como se muestra en la figura:

    Mire, profe. Los triángulos ACB, ACD y AED son iguales, por lo que el ángulo queda trisecado.

674. El laberinto de Jordan. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas había dibujado chapuceramente un "laberinto de Creta". Lo había hecho con un solo trazo: una curva cerrada que no se intersecaba a sí misma... Entonces comenté por encima el teorema de la curva de Jordan (cuyo enunciado es obvio pero cuya demostración no lo es) que aseguraba que esta curva divide al plano en dos regiones: la interior y la exterior. Pepe había situado al Minotauro en la estrella roja...

    Profe... ¿Está el Minotauro dentro o fuera? ¿Puede escapar del laberinto?

    ¿Tú qué opinas?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla "sacó" del laberinto al Minotauro en línea recta... atravesando la curva:

    Profe, mire. Como hay una cantidad par de intersecciones (8), el Minotauro está en la región exterior y puede escapar...

    ¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Nina?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo trampas... Coloreó (con un clic de ratón) la región interior y observó que el Minotauro estaba fuera... Y encontró el camino de salida...

673. El polinomio interpolador. RESOLUCIÓN

    El reto del fin de semana era calcular un polinomio P(x) de tercer grado a partir de los datos:

P(–1) = 1

P(1) = –5

P(2) = –5

P(3) = 13

    Pepe Chapuzas planteó un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas...

    Profe, mire. Si el polinomio es P(x) = a + bx + cx² + dx³, entonces el sistema que tengo es:

P(–1) = a – b + c – d = 1

P(1) = a + b + c + d = –5

P(2) = a + 2b + 4c + 8d = –5

P(3) = a + 3b + 9c + 27d = 13

    La matriz de coeficientes

es de Vandermonde y su determinante vale /M/ = (1+1)(2+1)(3+1)(2–1)(3–1)(3–2) = 48. Al coincidir el rango de la matriz de coeficientes, el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas ( rg(M) = rg(M*) = #{a,b,c,d} = 4 ) el sistema es compatible determinado (teorema de Rouché). Lo resuelvo como una ecuación matricial (usando la regla de Sarrus ¡16 veces!)...

    El polinomio buscado es P(x) = 1 – 5x – 3x² + 2x³.
    Profe, con la regla de Cramer es igual de complicado... ¿Quizá con el método de Gauss?:

    Busca si existe otro método más cómodo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el polinomio interpolador con la fórmula de Lagrange, aunque tampoco era un método demasiado cómodo:

P(–1)·(x–1)·(x–2)·(x–3):(–1–1):(–1–2):(–1–3) +

+ P(1)·(x+1)·(x–2)·(x–3):(1+1):(1–2):(1–3) +

+ P(2)·(x+1)·(x–1)·(x–3):(2+1):(2–1):(2–3) +

+ P(3)·(x+1)·(x–1)·(x–2):(3+1):(3–1):(3–2)

=

1 · (x³ – 6x² + 11x – 6) : (–24) +

+ (–5) · (x³ – 4x² + x + 6) : 4 +

+ (–5) · (x³ – 3x² – x + 3) : (–3) +

 + 13 · (x³ – 2x² – x + 2) : 8

=

(–1/24–5/4+5/3+13/8)x³ + (1/4+5–5–13/4)x² + (–11/24–5/4–5/3–13/8)x + (1/4–15/2+5+13/4)

=

2x³ – 3x² – 5x + 1

    Seguid investigando...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró el método de las diferencias divididas de Newton...

    P(–1) = 1
                       P(–1,1) = –3
    P(1) = –5                            P(–1,1,2) = 1
                       P(1,2) =  0                               P(–1,1,2,3) = 2
    P(2) = –5                            P(1,2,3) = 9
                       P(2,3) = 18
    P(3) = 13

    P(x) = 1 – 3(x+1) + 1(x+1)(x–1) + 2(x+1)(x–1)(x–2) = 1 – 3x – 3 + x² – 1 + 2x³ – 4x² – 2x + 4 =
= 1 – 5x – 3x² + 2x³.

    Profe, creo que este es el método más rápido...

672. Sumatorios y productorios. RESOLUCIÓN

    Habíamos explicado cómo se utilizan los símbolos Σ y Π en Matemáticas para indicar sumatorios y productorios respectivamente... y había propuesto a mis alumnos que buscaran ejemplos en Internet... Pepe Chapuzas encontró el siguiente ejercicio que involucraba a los dos símbolos...

    ¡A ver cómo lo resuelves!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó por separado el sumatorio y el productorio para ver si coincidían... Estaba claro que la igualdad solo tenía sentido si N era un número natural mayor que 2...

    Mire, profe. El sumatorio es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 1/N. El resultado es 1/(1–1/N) = N/(N–1). Si fuera, por ejemplo N=10, tendríamos 1+0,1+0,01+0,001+... = 1,111...
    Por otro lado, los factores del productorio son (1–1/n²) = (1–1/n)(1+1/n) = (n–1)/n·(n+1)/n. Al multiplicarlo todo queda 2·(N–2)!/(N–1)!·N!/2/(N–1)! = N/(N–1) también. Y para N=10 tenemos

2·(1–1/4)·(1–1/9)·((1–1/16)·(1–1/25)·(1–36)·(1–1/49)·(1–1/64)·(1–1/81) =

= 2·3/4·8/9·15/16·24/25·35/36·48/49·63/64·80/81 = 

= 2·3/2/2·2·4/3/3·3·5/4/4·4·6/5/5·5·7/6·6·8/7/7·7·9/8/8·8·10/9/9 = 

= 10/9 = 1,111...

    ¿Qué ocurre para N=2? ¿Y para N=1?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Si N=2 es cierta la igualdad porque el sumatorio es 1+1/2+1/4+1/8+... = 2 y el productorio sería un "producto sin factores", por tanto, 2·1 = 2. Además N/(N–1) = 2/1 = 2.
    Si N=1, el sumatorio da infinito (1+1+1+1+...) y el productorio...

    Yoyó Peluso se detuvo... para concluir:

    Al menos N/(N–1) = 1/0 tiene algo que ver con el infinito...

671. Entre parábolas. RESOLUCIÓN

    Cuando llegué a clase vi dibujadas en la pizarra dos curvas, una cóncava y otra convexa, que no se cortaban... Le mandé a Pepe Chapuzas borrar la pizarra... y cuando cogió el borrador preguntó:

    ¿Cuál es la distancia entre las curvas?

    Así que no borramos la pizarra. Escribí dos polinomios de 2º grado y pedí demostrar que las parábolas no se cortaban y calcular la mínima distancia entre ellas. Los polinomios eran

f(x) = x²/3 + 47/3

g(x) = – x²/6 + 10x/3.

    Hazlo y te llevas un positivo.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Es fácil comprobar que las parábolas no se cortan. Si hubiera intersección, entonces x²/3 + 47/3 = – x²/6 + 10x/3, y por tanto 3x² – 20x + 94 = 0, que no tiene solución porque el discriminante 20² – 4·3·94 = –728 < 0.

    Nina Guindilla podía calcular ahora la distancia. Veamos cómo...

    Para que sea mínima la distancia entre un punto S( s , s²/3 + 47/3 ) de la parábola f y un punto T( t , – t²/6 + 10t/3 ) de la parábola g, la pendiente de la parábola f en S y la pendiente de la parábola g en T deben coincidir, esto es, f'(s) = g'(t), esto es, 2s/3 = –t/3+10/3, y por lo tanto será t = 10–2s.
    Por otro lado, el segmento ST es perpendicular a las parábolas por lo que el producto escalar ( s–t , f(s)–g(t) ) · ( 3 , 2s ) = 0. (El vector ( 3 , 2s ) tiene pendiente 2s/3). Por lo que...

( s–t , s²/3 + 47/3 + t²/6 – 10t/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( s–(10–2s) , s²/3 + 47/3 + (10–2s)²/6 – 10(10–2s)/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( 3s–10 , s²/3 + 47/3 + 50/3 – 20s/3 + 2s²/3 – 100/3 + 20s/3 ) · ( 3 , 2s ) = 0

( 3s–10 , s² – 1 ) · ( 3 , 2s ) = 0

9s – 30 + 2s³ – 2s = 0

2s³ + 7s – 30 = 0.

    Esta ecuación se puede resolver con la regla de Ruffini:

    Y no tiene más soluciones porque el discriminante 4² – 4·2·15 = –104 < 0.
    Por lo tanto S( 2 , 17 ), T( 6 , 14 ) y la distancia √((2–6)²+(17–14)²) = 5. 

    ¿Es correcto el razonamiento de Nina? ¿Por qué el segmento ST tiene que ser perpendicular a las parábolas?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dibujó la circunferencia con diámetro ST...

    Profe, mire. Si alguna parábola fuera secante a la circunferencia habría puntos de la parábola en el interior de la circunferencia y la longitud de ST no sería la distancia mínima, por lo tanto la circunferencia es tangente a las parábolas y ST es perpendicular...

    No necesitamos más detalles...

669. De tercer grado (3ª parte). RESOLUCIÓN

    El verano suele hacer estragos... Quise repasar la regla de Ruffini que habíamos visto el curso anterior y alguno afirmaba que no la habíamos dado... Menos mal que Pepe Chapuzas sí se acordaba:

    Profe, la regla de Ruffini es muy fácil. Consiste en multiplicar, sumar, multiplicar, sumar..., desde el coeficiente principal hasta el término independiente de un polinomio... Y es útil para encontrar las raíces enteras...

    La verdad es que no le había quedado muy claro... pero lo peor estaba por llegar:

    Aunque si aplicamos la regla de Ruffini "al revés", o sea, si vamos multiplicando y sumando desde el término independiente hasta el coeficiente principal, entonces la regla es igual de útil para encontrar las raíces que son fracciones unitarias.

    Le pedí que se explicara mejor... En dos minutos ya se había preparado un ejemplo: el polinomio de tercer grado 30x³ – x² – 6x + 1.

    Mire, profe. Las raíces son –1/2, 1/3 y 1/5.

    Comprueba con la regla de Ruffini "al derecho" las raíces encontradas por Pepe Chapuzas...
    Calcula las raíces del polinomio de tercer grado 36x³ – 216x² + 263x – 90.

SOLUCIÓN

    La comprobación la hizo Nina Guindilla en un santiamén...

    La segunda cuestión era más complicada: las raíces de 36x³ – 216x² + 263x – 90 ni eran enteras ni eran fracciones unitarias... La regla de Ruffini no valía ni "al derecho" ni "al revés": era buscar agujas en un pajar... Y la fórmula general de las soluciones de la ecuación de tercer grado... mejor ni mencionarla... Nina optó por el método de Cardano (que aprendió en un taller de Matemáticas)...

    Profe, mire. Hay que resolver ax³ + bx² + cx + d = 0 mediante cambios de variable. 
    Primer cambio x = y – b/a/3. En nuestro ejemplo x = y + 2. Con este cambio se consigue una ecuación de tercer grado incompleta: ay³ = px + q. 

36(y+2)³ – 216(y+2)² + 263(y+2) – 90 = 0

36y³ + 216y² + 432y + 288 – 216y² – 864y – 864 + 263y + 526 – 90 = 0

36y³ = 169y + 140

    Segundo cambio y = u+v. Observe que y³ = (u+v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³ = 3uvy + u³ + v³.

36(3uvy+u³+v³) = 169y + 140

108uvy + 36(u³+v³) = 169y + 140

    Esta igualdad es cierta si uv = 169/108 y u³+v³ = 140/36 = 35/9, por lo tanto u y v son soluciones de la ecuación tricuadrada w⁶ – 35w³/9 + 169³/108³ = 0.
    Tercer cambio w³ = z + 35/18. Con ello evitamos utilizar la fórmula general de las soluciones de la ecuación de segundo grado: 

(z+35/18)² – 35·(z+35/18)/9 + 169³/108³ = 0

z² + 35z/9 + 35²/18² – 35z/9 – 35·35/18/9 + 169³/108³ = 0.

z² = –64009/1259712

z = ±0,22541607732i

    ¡Qué extraño es trabajar con números imaginarios para obtener raíces reales! Ahora toca deshacer los cambios en coordenadas rectangulares y polares con la calculadora...

w³ = 1,944444444444 ± 0,22541607732i = (1,957466884899; ±0,115413082215rad)

w₁ = (1,250925583244; ±0,038471027405rad) = 1,25 ± *******i

w₂ = (1,250925583244; ±2,132866129798rad) = –0,6666666666666 ± *******i

w₃ = (1,250925583244; ±4,227261232191rad) = –0,58333333333333 ± *******i

    Si las raíces son reales, entonces u y v son conjugados, por tanto, y = u + v = 2·Re(w), y no hace falta calcular Im(w) = *******.

y₁ = 2·5/4 = 5/2

y₂ = 2·(–2/3) = –4/3

y₃ = 2·(–7/12) =  –7/6

    Y las raíces que buscábamos son:

x₁ = 5/2 + 2 = 9/2

x₂ = –4/3 +2 = 2/3

x₃ = –7/6 + 2 = 5/6
 

    Nina debería haber hecho la comprobación. ¿La haces tú?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó las raíces con la regla de Ruffini "al derecho" y "al revés".

668. De tercer grado (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Cuando quitamos las equis de un polinomio de tercer grado (para la regla de Ruffini por ejemplo) me queda un "polinomio desnudo", que es como un vector de dimensión 4 o una matriz de dimensión 1x4. Es una cuestión de comas, paréntesis... y de recordar que si el polinomio es incompleto hay que rellenar con ceros... (También se rellenaría con ceros con un polinomio de menor grado.)

ax³ + bx² + cx + d ---> (a, b, c, d) vector

ax³ + bx² + cx + d ---> (a  b  c  d) matriz

    De hecho, una combinación lineal de polinomios de grado menor o igual que 3 es un polinomio de grado menor o igual que 3... Los coeficientes de un polinomio serían sus coordenadas respecto de la base {x³, x², x, 1}... Para "vestir" de nuevo al "polinomio desnudo" solo tengo que restituir las equis (mediante el producto escalar o el producto matricial)...

producto escalar ---> (a, b, c, d)·(x³, x², x, 1)

producto matricial ---> (a  b  c  d)·(x³  x²  x  1)^T

    Cuando Pepe Chapuzas se pone a relacionar objetos matemáticos...
    Escribe las siguientes transformaciones (lineales) del polinomio P(x) = ax³ + bx² + cx + d como el producto de la matriz P = (a  b  c  d) por una matriz cuadrada de orden 4. (Si es preciso, habría que evitar las discontinuidades evitables...)

A(x) = 5·P(x)

B(x) = P(x+1)

C(x) = x³·P(1/x)

D(x) = P'(x)

E(x) = P(2)

F(x) = (P(x)–P(1)):(x–1)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió las soluciones como "polinomios desnudos"...

    Profe, mire. Cada fila de la matriz 4x4 de la transformación está formada por la transformación de cada elemento de la base...
    Por ejemplo, A = (5a 5b 5c 5d) y A(x) = 5ax³ + 5bx² + 5cx + 5d. 

    Del mismo modo se obtiene B, que se parece al triángulo de Pascal...

    Y C convierte (a  b  c  d) en (d  c  b  a)...

    La derivación también es una transformación lineal...

    El valor numérico es una constante...

    Y con F se obtiene un cociente incremental...

    Calcula las matrices 4x4 que nos dan los polinomios Q(x) y R(x), cociente y resto de la división de P(x) entre x²+1.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo primero la división...

    Y luego escribió las matrices correspondientes al cociente...

    Y al resto...

667. Las derivadas sucesivas. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas resolvió la derivada n-ésima de f(x) = 1/x:

    Mire, profe...

f(x) = 1/x

f'(x) = –1/x²

f''(x) = 2/x³

f'''(x) = –6/x⁴

f^[n](x) = cos(nπ)n!/xⁿ⁺¹ 

    (Obsérvese que cos(nπ) = (–1)ⁿ.)

    Demuestra por inducción la fórmula de esta derivada n-ésima.
    Busca una fórmula para la derivada n-ésima de g(x) = senx.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comprobó que la fórmula valía para el caso n=0... (La derivada 0-ésima es la propia función: f(x) = cos(0π)·0!/x⁰⁺¹ = 1/x.)

    Mire, profe. Si f^[n–1](x) = cos((n–1)π)(n–1)!/xⁿ, entonces... 

f^[n](x) = (f^[n–1])'(x) =

= –n·cos((n–1)π)(n–1)!/xⁿ⁺¹ =

= cos(nπ)n!/xⁿ⁺¹

    Para la función g(x) tenemos un comportamiento cíclico:

g(x) = senx

g'(x) = cosx

g''(x) = – senx

g'''(x) = – cosx

g''''(x) = senx

    Por lo que la derivada n-ésima se puede escribir al estilo de Pepe Chapuzas... 

g^[n](x) = cos(nπ/2)senx + sen(nπ/2)cosx = sen(x+nπ/2).

    Encuentra una fórmula para la derivada n-ésima del producto de dos funciones: (f·g)^[n].

RESOLUCIÓN

    Siempre comento en clase la controversia sobre el descubrimiento del cálculo infinitesimal (Newton versus Leibniz)... Yoyó Peluso recordó esto cuando le sorprendió el paralelismo entre la fórmula de la derivada n-ésima del producto de dos funciones (Leibniz) y la del desarrollo de una potencia de un binomio (Newton)... 

    Mire, profe... 

(f·g)' = f'·g + f·g'

(f·g)'' = f''·g + 2·f'·g' + f·g"

(f·g)''' = f'''·g + 3·f''·g' + 3·f'·g'' + f·g'''

(f·g)'''' = f''''·g + 4·f'''·g' + 6·f''·g'' + 4·f'·g''' + f·g''''

666. De tercer grado. RESOLUCIÓN

    Propuse a mis alumnos estudiar el signo, la monotonía y la curvatura de un polinomio de tercer grado... Era muy sencillo porque solo había que derivar polinomios y resolver inecuaciones polinómicas sencillas... Cuando Pepe Chapuzas terminó el ejercicio propuso este mucho más interesante:

    Busca un polinomio de tercer grado con coeficientes enteros que tenga...

Una raíz en x = 4

Un extremo relativo en x = 2

Un punto de inflexión en x = 1

    Se puede hacer de diversas formas... y hay infinitas soluciones... Encuentra una.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró la siguiente:

    Mire, profe. Si llamamos P(x) al polinomio, se tiene que P(4)=0, P'(2)=0 y P"(1)=0, y por lo tanto se puede calcular de la siguiente manera (como para obtener un polinomio de tercer grado integrando tres veces aparece el denominador 3! = 6, basta con añadir el factor 6 para que los coeficientes sean enteros):

    Estudia el signo, la monotonía y la curvatura de esta función.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Esto es como una comprobación de la solución de Nina. Tengo que averiguar los valores que anulan P(x) = x³–3x²–16, P'(x) = 3x²–6x = 3x(x–2) y P"(x) = 6x–6 = 6(x–1)... P"x) solo se anula en el dato del enunciado x = 1, P'(x) se anula en x = 0 además del dato del enunciado x=2 y P"(x) solo se anula en el dato del enunciado x = 4 porque (x³–3x²–16):(x–4) = x²+x+4 cuyo discriminante 1²–4·1·4 = –15 es negativo. (Esta división la he hecho con la regla de Ruffini.)

    En el siguiente diagrama estudio el signo de P, el signo de P' (monotonía de P) y el signo de P" (curvatura de P).

    Por tanto la función P... 
    Es positiva en (4, ∞), negativa en (–∞, 4) y nula en {4}.
    Es creciente en (–∞, 0) y (2, ∞), decreciente en (0, 2), y tiene un máximo relativo en {0} y un mínimo relativo en {2}.
    Es convexa en (–∞, 1) y cóncava en (1, ∞), y tiene un punto de inflexión en {1}.

665. Una batalla extraordinaria. RESOLUCIÓN

    Aquella batalla fue extraordinaria. El 70% de los soldados perdió el cinturón, el 75% perdió el chaleco, el 80% perdió el casco y el 85% perdió la cantimplora. ¿Cuántos soldados, por lo menos, perdieron las cuatro "ces" (cinturón, chaleco, casco y cantimplora)?

    ¡Animo! Resuelve este retito que propuso Pepe Chapuzas el último día de clase.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla odiaba los ejemplos bélicos... Al menos este no tenía sangre...

    Mire, profe. Al menos el 70% + 75% – 100% = 45% de los soldados perdió el cinturón y el chaleco, y el 80% + 85% – 100% = 65% de los soldados perdió el casco y la cantimplora, por lo que al menos el 45% + 65% – 100% = 10% de los soldados perdió los cuatro objetos...

    ¿Cuál es la cantidad máxima de soldados que pueden regresar de la batalla sin perder ninguno de los cuatro objetos?
    ¿Si perder el cinturón, perder el chaleco, perder el casco y perder la cantimplora fueran sucesos independientes..., ¿cuántos soldados habrían perdido las cuatro "ces"?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo un diagrama:

    Profe, mire. Si todos los que han perdido el cinturón han perdido el chaleco, si todos los que han perdido el chaleco han perdido el casco y si todos los que han perdido el casco han perdido la cantimplora, entonces los que no han perdido ninguno de los cuatro objetos son el 100% – 85% = 15%, y este es el porcentaje máximo.
    Si son sucesos independientes, el porcentaje de los que han perdido las cuatro "ces" sería 70%·75%·80%·85% = 35,7%.

664. Las cuerdas equidistantes. RESOLUCIÓN

    Si en un círculo de radio r trazamos tres cuerdas equidistantes (en rojo), tales que la distancia (en azul) entre ellas es precisamente r, entonces los puntos medios de las cuerdas (rojas) son vértices de un triángulo equilátero...

    Encontré este precioso resultado en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Cuando toca revisión de cuadernos, es el suyo el primero (y el último) que "reviso". Venía sin demostración... ¿Te atreves...?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se imaginó que estaba en el plano complejo. Así, los puntos del plano real eran números complejos...

    Mire, profe. Para simplificar los cálculos puedo suponer, sin perder generalidad, que esta es la circunferencia unidad (centrada en 0 y de radio r = 1). Puedo suponerlo porque la forma de los triángulos no cambian con semejanzas ni traslaciones. Los extremos de las cuerdas se pueden escribir en coordenadas polares así:

1_A  y 1_B

1_B+60º  y 1_C

1_C+60º y 1_A–60º

   Y los puntos medios de las cuerdas son: 

0,5_A + 0,5_B  

0,5_B+60º  + 0,5_C  

0,5_C+60º  + 0,5_A–60º

   Y para probar que son vértices de un triángulo equilátero: 

( 0,5_A  + 0,5_B  ) + 1_120º · ( 0,5_B+60º  + 0,5_C ) + 1_–120º · ( 0,5_C+60º + 0,5_A–60º ) =

=  0,5_A + 0,5_B +  0,5_B+180º  + 0,5_C+120º + 0,5_C–60º  + 0,5_A–180º  =

=  0,5_A  + 0,5_B –  0,5_B  + 0,5_C+120º – 0,5_C+120º  – 0,5_A = 0

    Nina ha utilizado el siguiente resultado de Geometría del plano complejo: los puntos a, b y c son vértices en sentido antihorario de un triángulo equilátero si y solo si se cumple la igualdad a + 1_120º · b + 1_–120º · c = 0. Pruébalo.

    Demuestra también el siguiente resultado: si a, b y c son vértices de un triángulo y a', b' y c' son tales que los triángulos a-b-c', b-c-a' y c-a-b' son semejantes, entonces los triángulos a-b-c y a'-b'-c' comparten baricentro.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El triángulo de vértices a, b y c, en sentido antihorario, es equilátero si y solo si el lado a – b es el lado c – b rotado 60º, esto es, (a – b)/(c – b) = 1_60º . (El número 1_60º es un versor.)

a – b = 1_60º · (c – b) = 1_60º · c – 1_60º · b, 

a +  ( 1_60º + 1_180º ) · b – 1_60º · c = 0, 

a +  1_120º · b + 1_–120º · c = 0.

    Yoyó Peluso siguió operando con números complejos de la siguiente manera... 

    Profe, mire. Como los tres triángulos verdes son semejantes habrá un número complejo d tal que (c' – a)/(b – a) = (b' – c)/(a – c) = (a' – b)/(c – b) = d, por lo que...

a' = cd – bd + b

b' = ad – cd + c

c' = bd – ad + a

    Sumando las tres igualdades nos queda a'+b'+c' = a+b+c por lo tanto el baricentro de los dos triángulos es común: g = (a+b+c)/3 = (a'+b'+c')/3.