1678. Juego de garruchas y aparejos

    Pepe Chapuza trajo un juego de garruchas (poleas) y cuerdas para montar un aparejo (polipasto).

    Profe, mire. ¿Qué fuerza F hay que superar tirando de la cuerda para izar un peso P? 

    Estaba claro que eso dependía del número de poleas y del tipo de polipasto. Aclárale esta cuestión a Pepe. Consideraremos irrelevantes el peso de las cuerdas, los rozamientos y los momentos de inercia... 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comentó que principalmente había dos tipos de polipastos: los factoriales y los potenciales. 

    Mire, profe. En un polipasto factorial se alternan las poleas fijas y las móviles según este esquema básico...

    La fuerza F y el peso P son inversamente proporcionales a la longitud L de la cuerda extraída y a la altura A alcanzada por el peso, respectivamente, esto es FL=PA. Si hay n poleas según el esquema básico se cumple que F=P/n.

    Faltaba hablar del polipasto potencial... 

RESOLUCIÓN

    Aquí estaba Yoyó Gaviota...

    Profe, mire. El esquema básico de un polipasto potencial es el siguiente.

    Solo hay poleas móviles... Si son n las poleas se cumple que F=P/2ⁿ. La única pega es la limitación de A, ¿verdad? 

    Queda para el lector pensar cuál es tal limitación...

1677. En busca del incentro...

    Pepe Chapuza nos dio las coordenadas de los vértices de un triángulo:

 A(0, 0)     B(21, 0)     C(16, 12)

    Profe, necesito las coordenadas del incentro de este triángulo, esto es, el centro de su circunferencia inscrita... 

    ¿Quién le echa una mano a Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabía que el incentro era el punto de intersección de las tres bisectrices del triángulo... 

    Mire, profe. Voy a calcular las ecuaciones de dos bisectrices y luego su intersección resolviendo el sistema... 

    Un vector director de la bisectriz que pasa por A es la suma de los vectores  

AB/|AB| + AC/|AC| = (21/21, 0/21) + (16/20, 12/20) = (9/5, 3/5) ∥ (3, 1)

    Del mismo modo calculamos un vector director de la bisectriz que pasa por B

BA/|BA| + BC/|BC| = (−21/21, 0/21) + (−5/13, 12/13) = (−18/13, 12/13) ∥ (−3, 2)

    Las bisectrices son...

x − 3y = 0         2x + 3y − 42 = 0

y el incentro...

x = 14          y = 14/3

    Nina ha operado mentalmente demasiado rápido. ¿Quién comprueba la solución? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota no repasó lo cálculos sino que comprobó que la tercera bisectriz pasaba por el punto P(14, 14/3).

    Profe, mire. 

CA/|CA|+ CB/|CB|= (−16/20, −12/20) + (5/13, −12/13) = (−108/260, −396/260) ∥ (3, 11)

    La tercera bisectriz, la que pasa por C tiene por ecuación...

11x − 3y − 140 = 0

y sustituyendo las incógnitas por las coordenadas del presunto incentro...

11·14 − 3·14/3 − 140 = 154 − 14 − 140 = 0

    Queda para el lector repasar los cálculos...

1676. Las ecuaciones implícitas de una recta

     Había explicado en clase que las ecuaciones implícitas de una recta en el espacio consistían en realidad en un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, esto es, la intersección de dos planos secantes. Para que fueran secantes, sendos vectores normales no podían ser paralelos, esto es, el rango de la matriz de coeficientes del sistema tenía que ser dos. Muchos problemas de geometría en que se pedía hallar una recta se podían resolver cómodamente con este tipo de ecuaciones. Pepe Chapuza propuso este:

    Halla la proyección perpendicular de la recta r: (x, y, z) = (1, 4, 3) + λ (2, 3, 6) sobre el plano ϖ: 2x + 7y + z + 5 = 0.

    Si  r⊥ϖ  la proyección sería un punto  P = r ∩ ϖ , pero no es este el caso porque (2, 3, 7) ∦ (2, 7, 1). Así que la proyección es una recta p. Halla sus ecuaciones implícitas. 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo que la ecuación implícita del plano π era una de las ecuaciones implícitas de la recta p puesto que  p ⊂ ϖ ...

    Profe, mire. El otro plano ϱ debe cumplir que  ϱ ⊃ r  y que  ϱ ⊥ ϖ . Por lo tanto el vector normal de ϱ será  (2, 3, 6) × (2, 7, 1) = (–39, 10, 8) y la ecuación de ϱ es – 39(x–1) + 10(y–4) + 8(z–3) = 0, es decir, ϱ: 39x – 10y – 8z + 25 = 0. La solución es  p = ϖ ∩ ϱ .

    Nina propuso este otro problema:

    Halla la perpendicular común a las rectas r: (x y, z) = (2, 5, 8) + λ (1, 3, 1 ) y s: (x, y, z) = (3, 2, 1) + μ (7, 1, 4).

    Si las rectas tuvieran la misma dirección habría infinitas soluciones pero no este el caso porque (1, 3, 1) ∦ (7, 1, 4). Así que solo hay una perpendicular común p. Halla sus ecuaciones implícitas. 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota empezó calculando el vector director de p, (1, 3, 1) × (7, 1, 4) = (11, 3, –20).

    Mire, profe. Podemos determinar  p = ϖ ∩ ϱ  donde  ϖ ⊃  r ∪ p  y  ϱ ⊃ s ∪ p .

    El vector normal de ϖ es (1, 3, 1) × (11, 3, –20) = (–63, 31, –30) por lo que la ecuación de ϖ es –63(x–2) + 31(y–5) – 30(z–8) = 0, esto es, ϖ: 63x – 31y + 30z – 211 = 0.

    El vector normal de ϱ es (7, 1, 4) × (11, 3, –20) = (–32, 184, 10) por lo que la ecuación de ϱ es –16(x–3) + 92(y–2) + 5(z–1) = 0, esto es, ϖ: 16x – 92y – 5z +141= 0.

1675. La circunferencia de Conway

    Pepe Chapuza enunció el famoso problema de la circunferencia de Conway. 

    Mire, profe. Si en un triángulo ABC cualquiera prolongamos desde cada vértice los dos lados que concurren en él la longitud del tercer lado entonces los seis extremos de los lados prolongados son concíclicos.

    Interpreta en un dibujo el enunciado y haz una demostración...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó un triángulo cualquiera... y prolongó cada lado "por ambos lados"...

    Mire, profe. Tracemos la circunferencia inscrita en ABC y sean D, E y F los puntos de tangencia. Estos dividen a los lados del triángulo en segmentos de longitud a, b y c tal como se muestra en el dibujo. Si P, Q, R, S, T y U son los extremos de los lados prolongados entonces tenemos que...

PF = SF = QE = TE = RD = UD = a+b+c

    De aquí se desprende que el incentro J del triángulo ABC está en las mediatrices de los lados prolongados y por ello...

PJ = QJ = RJ = SJ = TJ = UJ

    De aquí se desprende que los seis puntos P, Q, R, S, T y U están en una circunferencia con centro en J.

    ¿Cuánto mide el radio R de esta circunferencia?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota midió...

    Profe, mire. Si el semiperímetro del triángulo ABC mide s = a+b+c y si el radio de la circunferencia inscrita en ABC mide r, entonces, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PFJ por ejemplo, tenemos que R = PJ = √(s²+r²).

1674. La seudoesfera

    Pedí a mis alumnos que indagaran acerca de superficies de curvatura constante y automáticamente les vino a la mente las esferas... por analogía con las circunferencias. Entonces Pepe Chapuza comentó que había varios conceptos de curvatura de superficies... entre los que destacaban la curvatura gaussiana y la curvatura media.

    Mire, profe. Si nos referimos a la curvatura de Gauss, la esfera tiene curvatura constante positiva, pero en el espacio hay también superficies con curvatura constante negativa, como las seudoesferas (o pseudoesferas)...

    Indaga tú también...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Una esfera de centro O y radio 1 se puede parametrizar en función de la latitud V y la longitud W:

{ x = cosV cosW ; y = cosV senW ; z = senV }

    En los polos norte y sur las latitudes son extremas (V = ±π/2) y las longitudes quedan indeterminadas... Se puede parametrizar la esfera sin polos cambiando el parámetro V por otro parámetro U de la siguiente manera...

{ x = sechU cosW ; y = sechU senW ; z = tanhU }

    Pues bien, la seudoesfera se puede parametrizar así:

{ x = sechU cosW ; y = sechU senW ; z = U − tanhU }

    La seudoesfera es una superficie de revolución cuya generatriz es una tractriz (persecutriz):

{ x = sechU ; y = 0 ; z = U − tanhU }

    Finalmente, los planos, los conos y los cilindros son superficies de curvatura constante nula...

    Nina Guindilla nos presentó algunas superficies de curvatura gaussiana constante, pero hay otras... Habrá que seguir indagando...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota nos desveló algunas superficies preciosas...

    Mire, profe. Entre las superficies con curvatura gaussiana constante están la de Sievert (positiva), la de Dini (negativa) y la de Kuen (negativa).

    El lector puede ver estas superficies y otras en Internet. También puede indagar sobre las superficies de curvatura media constante... ¡Le sorprenderán!

    Un ejemplo sería la catenoide (relacionada con las catenarias):

{ x = coshU cosW ; y = coshU senW ; z = U }

    Otro ejemplo sería la helicoide (relacionada con las hélices):

{ x = U cosW ; y = U senW ; z = W }