1677. En busca del incentro...

    Pepe Chapuza nos dio las coordenadas de los vértices de un triángulo:

 A(0, 0)     B(21, 0)     C(16, 12)

    Profe, necesito las coordenadas del incentro de este triángulo, esto es, el centro de su circunferencia inscrita... 

    ¿Quién le echa una mano a Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabía que el incentro era el punto de intersección de las tres bisectrices del triángulo... 

    Mire, profe. Voy a calcular las ecuaciones de dos bisectrices y luego su intersección resolviendo el sistema... 

    Un vector director de la bisectriz que pasa por A es la suma de los vectores  

AB/|AB| + AC/|AC| = (21/21, 0/21) + (16/20, 12/20) = (9/5, 3/5) ∥ (3, 1)

    Del mismo modo calculamos un vector director de la bisectriz que pasa por B

BA/|BA| + BC/|BC| = (−21/21, 0/21) + (−5/13, 12/13) = (−18/13, 12/13) ∥ (−3, 2)

    Las bisectrices son...

x − 3y = 0         2x + 3y − 42 = 0

y el incentro...

x = 14          y = 14/3

    Nina ha operado mentalmente demasiado rápido. ¿Quién comprueba la solución? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota no repasó lo cálculos sino que comprobó que la tercera bisectriz pasaba por el punto P(14, 14/3).

    Profe, mire. 

CA/|CA|+ CB/|CB|= (−16/20, −12/20) + (5/13, −12/13) = (−108/260, −396/260) ∥ (3, 11)

    La tercera bisectriz, la que pasa por C tiene por ecuación...

11x − 3y − 140 = 0

y sustituyendo las incógnitas por las coordenadas del presunto incentro...

11·14 − 3·14/3 − 140 = 154 − 14 − 140 = 0

    Queda para el lector repasar los cálculos...