1632. Integración compleja

     Profe, mire. Hemos aprendido que la integral indefinida es el conjunto de primitivas de una función... (F es una primitiva de f si f es la derivada de F). Y entre las primitivas inmediatas me llamó la atención la de la función f(x) = xⁿ (la potencia n-ésima): la fórmula de la derivada de la potencia n-ésima (f '(x) = n xⁿ⁻¹) nos permitiría obtener la de la primitiva si no fuera por una célebre excepción...

    Sin embargo, profe, para la excepción n = −1 hay primitivas que no están contempladas aquí... Por ejemplo:

    ¡Menuda chapuza! Está claro que F '(x) = 1/x pero en F(x) no hay una constante C sino dos diferentes: una a cada lado de la discontinuidad... Y eso les ocurre a otras funciones discontinuas...

    Había llegado peleón a clase Pepe Chapuza... Entonces comenté a toda la clase que si en los números reales no se podía ir de x = −1 a x = +1 sin pasar por x = 0 (donde se hallaba la discontinuidad) con los números complejos se podía dar un rodeo... aunque anduviéramos sobre números imaginarios...

    Y que incluso se podía dar una vuelta alrededor de la discontinuidad y regresar al punto de partida... Así que propuse investigar la integral de la potencia n-ésima xⁿ desde x = +1 hasta volver a x = +1 alrededor del círculo de centro x = 0 y radio r = 1 del plano complejo en sentido antihorario,.. Así nos asomábamos un poco a la integración compleja...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó poniendo un poco de orden...

    Profe, mire. En el plano complejo se acostumbra a usar la letra z para la variable independiente... Los puntos de la circunferencia unidad en el plano complejo, recorridos en sentido positivo, son de la forma  z = e^it con 0 ≤ t ≤ 2π, puesto que  e^it = cos t + i sen t ; así que la integral se puede resolver mediante un cambio de variable... Se escribe así:

∮_C zⁿ dz = ʃ ₀^2π e^itn ie^it dt = ʃ ₀^2π ie^it(n+1) dt = (e^2πi(n+1)−1) / (n+1) = (1−1)/(n+1) = 0

    Nos hemos topado de nuevo con la excepción... Tiene que ser n ≠ −1. ¿Qué pasa en el caso de que n = −1?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio el asombroso e importantísimo resultado...

    Mire, profe. Si n = −1,  ʃ ₀^2π ie^it(n+1) dt = ʃ ₀^2π i dt = 2πi