1623. Se acaba la función...

    Había pedido estudiar la función  f(x) = |x|^x  si  x ≠ 0  y  f(0) = 1 . Pepe Chapuza empezó con los ítems explicados en clase...

1) Dominio:

    Para   x ≠ 0  f(x)  es una potencia de base positiva bien definida y también está bien definida la ordenada en el origen, por lo que  Dom(f) = (−∞, ∞) .

2) Simetría:

    No es ni par ni impar. He aquí un contraejemplo:

f(2) = 2² = 4

f(−2) = 2⁻² = 1/4

−f(2) = −4

3) Signo:

    La función es siempre positiva porque  |x|^x > 0  y  1 > 0 . La gráfica está toda ella sobre el eje de abscisas, esto es, en los cuadrantes primero y segundo.

    Pepe ha dado los primeros pasos. ¿Quién quiere seguir?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla abordó tres ítems más...

4) Continuidad:

    Solo hay que calcular límites cuando  x → 0 .

lím_x→0 |x|^x = lím_x→0 exp_e log_e |x|^x = exp_e lím_x→0 x·log_e|x| = exp_e lím_x→0 log_e|x| / (1/x) =

    Aquí aplico la regla de L'Hôpital...

= exp_e lím_x→0  (1/x) / (−1/x²) = exp_e lím_x→0 (−x) = e⁰ = 1 = f(0)

    Por lo tanto la función  f  es continua.

5) Tendencias:

    Cuando  x → −∞ ,  lím_x→−∞ |x|^x = ∞^−∞ = 0 . Hay una asíntota horizontal en  y = 0 .

    Cuando  x → ∞ ,  lím_x→∞ |x|^x = ∞^∞ = ∞ ;  lím_x→∞ |x|^x / x =  lím_x→∞ x^x−1 = ∞^∞−1 = ∞ . Hay una rama parabólica vertical.

    Así que  Rec(f) = (0, ∞) .

6) Derivabilidad:

    Utilizo la derivación logarítmica.

 log_e f(x)  =  x · log_e|x|

f '(x) / f(x)  =   1 · log_e |x|  +  x · 1/x  =  log_e |x| + 1

f '(x)  =  |x|^x · ( log_e|x| + 1 )

    Calculo límites cuando  x → 0 .

lím_x→0  |x|^x · ( log_e|x| + 1 ) = lím_x→0 |x|^x · lím_x→0 ( log_e|x| + 1 ) = 1 · (−∞+1) = −∞

    En sentido estricto,  f  no es derivable en  x = 0  (punto singular), pero si admitimos derivadas infinitas entonces tenemos que  f '(0) = −∞ . La gráfica es, además de continua, suave.

    ¡Ánimo, que queda poco!

RESOLUCIÓN

    Para "terminar la función" Yoyó Gaviota estudió la monotonía y la curvatura, lo que le permitió esbozar la gráfica...

7) Monotonía:

    Los puntos críticos cumplen  f '(x) = 0 , por tanto

 log_e|x| + 1 = 0

log_e|x| = −1

|x| = 1/e

x = ± 1/e

    Y tenemos

x =	−1	−1/e	0	1/e	1
f '(x) =	1	0	−∞	0	1

    Por lo que  f  es creciente en  (−∞, −1/e) ∪ (1/e, ∞)  y decreciente en  (−1/e, 1/e) . Por lo tanto hay un máximo local en  x = −1/e  y un mínimo local en  x = 1/e . (En  x = 0  hay un punto de inflexión vertical convexo-cóncavo.)

8) Curvatura:

    La segunda derivada,  f "(x) = |x|^x · ( log_e|x| + 1 )² + |x|^x · (1/x) , se anula cuando

( log_e|x| + 1 )² + 1/x = 0

( log_e|x| + 1 )² = −1/x

por lo que tiene que ser  x < 0 

log_e(−x) + 1 = 1/√(−x)

    La solución  x = −1  es obvia

ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1

1/√1 = 1/1 = 1

y es única porque  log_e(−x) + 1  decrece y  1/√(−x)  crece.

    Y se deduce, de los ítems 5 y 6, que en  x = 0  hay un punto de inflexión vertical convexo-cóncavo. Así  f "(0⁻) = −∞  y  f "(0⁺) = +∞  (*)

x =	−e	−1	−1/e	0	1
f "(x) =	> 0	0	< 0	(*)	> 0

     Por lo que  f  es cóncava en  (−∞, −1) ∪ (0, ∞)  y convexa en  (−1, 0) . Y hay otro punto de inflexión, este oblicuo y cóncavo-convexo, en  x = −1 .

9) Gráfica:

    Con todos estos datos podemos representar la función... (Al menos un esbozo.)