1622. Un positivo en juego

    Había que corregir un ejercicio en la pizarra... ¡Había un positivo en juego! Pedí voluntarios...

    Vi siete manos alzadas y dudaba a quién sacar, así que decidí que sería el azar de un sorteo el que iba a elegir por mí: escribí un número del 1 al 7 en la pizarra sin que nadie lo viera y lo tapé, y pedí a los voluntarios, siguiendo el orden de la lista de clase, que fueran diciendo un número del 1 al 7 hasta que alguno acertara. Enseguida el último protestó argumentando que los anteriores tenían ventaja ya que podían quitarle el número que tenía pensado o, lo que era peor, podían acertar, lo cual era bastante probable, y ya ni siquiera tendría la oportunidad de participar en el sorteo ni de llevarse el positivo...

    Pepe Chapuza replicó que era un procedimiento justo y que todos tenían la misma probabilidad de salir a la pizarra, participaran o no el sorteo, por paradójico que pareciera...

    ¿Tenía razón Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ y A₇ a los sucesos que indican que el alumno 1.º, 2.º, 3.º, 4.º, 5.º, 6.º o 7.º, respectivamente, acertará el número de la pizarra.

    Mire, profe.

    La probabilidad de que el alumno 1.º salga a la pizarra es P(A₁) = 1/7.

    La probabilidad de que salga el 2.º es P(A̅₁∩A₂) = P(A̅₁)·P(A₂|A̅₁) = 6/7 · 1/6 = 1/7.

    La del 3.º es P(A̅₁∩A̅₂∩A₃) = P(A̅₁)·P(A̅₂|A̅₁)·P(A₃|A̅₁∩A̅₂) = 6/7 · 5/6 · 1/5 = 1/7.

    Y así sucesivamente. ¡Todos tienen la misma probabilidad de salir!

    Para ilustrar otro ejemplo de probabilidades aparentemente paradójicas mencioné el problema de Monty Hall...

    En un concurso presentado por Monty había tres puertas. Una ocultaba un coche y las otras sendas cabras... El concursante elegía una puerta y antes de abrirla Monty abría otra puerta por la que salía una cabra. En ese momento Monty permitía al concursante cambiar su elección y abrir cualquiera de las dos puertas que quedaban... ¿Tú qué habrías hecho, abrir la puerta elegida inicialmente o la otra?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dudó un rato pero al final se decidió:

    Profe, mire. La probabilidad de que el coche esté en la puerta elegida inicialmente es 1/3, por lo tanto la probabilidad de que no esté es el doble, 2/3. Al salir la cabra por una puerta no elegida, la probabilidad de que el coche esté en la otra puerta no elegida es precisamente ese 2/3. ¡Esa es la puerta que hay que abrir!