1619. El undécimo lema

     Estaba explicando en clase un resultado, sobre cuerdas de un círculo, que aparece en el libro de los lemas de Arquímedes. En particular, se trataba del undécimo lema, cuyo enunciado rezaba:

    "Si, en un círculo de radio R, el punto de intersección de dos cuerdas perpendiculares secantes divide a estas en los segmentos A, B, C y D, entonces,  A² + B² + C² + D²  =  4R² ".

    Pepe Chapuza trajo una demostración al día siguiente:

    Profe, mire. El triángulo rectángulo de catetos A y B (e hipotenusa E) es semejante al triángulo rectángulo de catetos C y D (e hipotenusa F) ya que tienen sendos ángulos agudos que subtienden los mismos arcos. Si le damos la vuelta al triángulo C-D-F (para obtener el simétrico) como en la última figura, tenemos que E y F son perpendiculares (suma de ángulos complementarios) por lo que el triángulo rectángulo de catetos E y F tiene hipotenusa 2R, de donde...

A² + B² + C² + D²  =  E² + F²  =  (2R)²  =  4R²

    ¡Bonita demostración! Obtén, dados los lados, una fórmula para el circunradio de un cuadrilátero cíclico ortodiagonal a partir del undécimo lema.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Las diagonales de un cuadrilátero cíclico ortodiagonal son cuerdas perpendiculares secantes de su círculo circunscrito por lo que podemos aplicar el úndecimo lema.

    El razonamiento de Pepe nos da la solución con los lados E y F y, por analogía, con G y H.

R  = ½ √ ( E² + F² ) = ½ √ ( G² + H² )

    De hecho, E² + F²  =  G² + H²  se cumple en todo cuadrilátero ortodiagonal, sea o no cíclico.

    Nina Guindilla también obtuvo una fórmula para la superficie del cuadrilátero.

    Mire, profe. Por ser ortodiagonal, la fórmula de la superficie es como la del rombo:

S  =  ½ (A+C)(B+D)

y por ser cíclico se cumple el teorema de Tolomeo, por lo que

S  =  ½ (EF+GH)

    Si un cuadrilátero cíclico no es ortodiagonal, entonces no podemos aplicar el undécimo lema. ¿Cuánto mediría entonces el cincunradio?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró la "formulita" de Parameśvara:

R  =  √ ( (EF+GH) (EG+FH) (EH+FG)/(E+F+G−H)/(E+F+H−G)/(E+G+H−F)/(F+G+H−E) )

    Profe, mire. 

    Si permutamos las letras conseguimos la misma fórmula... Esta fórmula nos da el circunradio de un cuadrilátero cíclico de lados E, F, G y H independientemente de qué lados son contiguos y cuáles opuestos. Salvo isometrías son tres los cuadriláteros: E-F-G-H, E-G-F-H y E-F-H-G. Todo esto es lógico porque los lados son cuerdas que se pueden reordenar y encajar en el mismo círculo.

    También las superficies de los tres cuadriláteros coinciden porque en realidad son el círculo menos los cuatro sectores determinados por los lados E, F, G y H. Esto se puede observar, igual que antes, permutando las letras en la fórmula de Brahmagupta.

S = ¼ √ ( (E+F+G−H) (E+F+H−G) (E+G+H−F) (F+G+H−E) )

    Cerré el asunto comentando que de entre todos los cuadriláteros de lados E, F, G y H, los de mayor superficie eran los tres cíclicos... Y que para que cuatro segmentos E, F, G y H pudieran perimetrar un cuadrilátero, el mayor debe ser menor que la suma de los otros tres... Pero Yoyó no quiso terminar sin resolver un ejemplo con números...

    Mire, profe.

    ¿Cuánto mide la superficie del círculo circunscrito a un cuadrilátero de lados 5, 7, 10 y 11 centímetros? ¿Y la del propio cuadrilátero?

    Primero el cuadrilátero, que es cíclico. Es posible porque 5+7+10 = 22 > 11.

5+7+10−11 = 11

5+7+11−10 = 13

5+10+11−7 = 19

7+10+11−5 = 23

¼ √ (11·13·19·23) = 62,4955 cm²

    Ahora el círculo...

5·7 + 10·11 = 145

5·10 + 7·11 = 127

5·11 + 7·10 = 125

π·147·127·125/11/13/19/23 = 115,7215 cm²