1604. La excentricidad angular. (2.ª parte)

     En un triángulo ABC, el vértice C es un foco de una elipse y el lado AB es una cuerda de la elipse que pasa por el otro foco D. De los lados se sabe que |AC| = 15 cm y que |AB|+|BC| = 41 cm. Además, se sabe que el área del triángulo ACD es 84 cm² ¿Cuánto vale la excentricidad angular de la elipse?

    Pepe Chapuza había enunciado esta tarea para la tarde... Hazla antes de acostarte...

SOLUCIÓN

    Nina no se acostó antes de acabar sus tareas... Una labor de detective a partir de las pistas...

     Mire, profe. Por el método del jardinero sabemos que |AC|+|AD| = |BC|+|BD| = 2a, donde a es el semieje mayor. Por lo tanto 2a es igual al semiperímetro del triángulo. (La línea de ápsides sería una divisoria del triángulo y pasaría por el punto de Nagel.)

    Por otro lado, el semiperímetro es 2a = (|AB|+|AC|+|BC|) / 2 = (15+41) / 2 = 28 cm. De donde se tiene que a = 14 cm, y también que |AD| = 2a − |AC| = 28 − 15 = 13 cm.

    Como el área del triángulo ACD es 1/2·|AC|·|AD|·sen = 1/2·15·13·sen = 84 cm², tenemos que sen = 56/65, por lo tanto, cos = √(1−56²/65²) = 33/65.

    Con el teorema del coseno podemos calcular la distancia focal...

2c = |CD| = 

= √( |AC|²+|AD|²−2·|AC|·|AD|·cos ) =

= √( 15²+13²−2·15·13·33/65 ) =

= √( 225 +169 −198 ) =

= √196 = 14 cm

de donde se tiene que c = 7 cm y que la excentricidad de la elipse es ε = c/a = 7/14 = 1/2.

    Por lo tanto la excentricidad angular mide  θ = arcsen(1/2) = 30º .

    La tarea del día siguiente consistió en calcular las coordenadas de los cuatro puntos A, B, C y D suponiendo que el centro de la elipse era O(0, 0); que los focos estaban en el eje de abscisas, con C en la parte negativa y D en la parte positiva; y que de los otros puntos, A tiene la ordenada positiva y B la tiene negativa...

    RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota también hizo de detective matemático...

    Mire, profe. La línea de ápsides es el eje de abscisas (y = 0). Como la distancia focal es 14 cm, los focos son C(−7, 0) y D(7, 0).

    El punto A dista 15 cm de C y 13 cm de D por tanto sus coordenadas satisfacen el sistema

(x+7)² + y² = 15²

(x−7)² + y² = 13²

esto es

x²+14x+49+y² = 225

x²−14x+49+y² = 169

y restando las ecuaciones tenemos 28x = 56, esto es, x=2. 

    De este modo (2+7)² + y² = 15², por lo que y= √(15²−9²) = √(225−81) = √144 = 12.

    Ya tenemos el punto A(2, 12).

    El semieje menor de la elipse es b = √(a²−c²) = √(14²−7²) =√(196−49) = √147 por lo que la ecuación de la elipse es  x²/196 + y²/147 = 1.

    La ecuación de recta que pasa por A y D es  y = −12/5 (x−7) . Al sustituir en la ecuación de la elipse tenemos  x²/196 + 144/25 (x²−14x+49)/147 = 1 . Simplifico y quito denominadores...

x²/196 + 48/25 (x²−14x+49)/49 = 1

(1235+9408)x² − 131712x + (460992−140100) = 0

10633x² − 131712x + 220892 = 0

31x² − 384x + 644 = 0

que se puede dividir entre (x−2) puesto que 2 es la abscisa del punto A.

    Así tenemos  x = 322/31 ,  y = −12/5 (322/31−7) = −252/31  y el punto  B(322/31, −252/31) .

    Mire, profe. Pepe mencionó el punto de Nagel N del triángulo. Ahora se puede calcular... 

    La divisoria (ceviana que biseca el perímetro del triángulo) que pasa por el punto A cortará al lado BC en un punto E que dista 28−15 = 13 cm de C.

CB = (322/31, −252/31) − (−7, 0) = (539/31, −252/31) || (539/31, −252/31)·31/7 = (77, −36)

|(77, −36)| = √(77²+36²) = √7225 = 85

OE = (−7, 0) + 13·(77, −36)/85 = (406/85, −468/85)

    Ahora, la ecuación de la divisoria...

AE = (406/85, −468/85) − (2, 12) = (236/85, −1488/85) || (236/85, −1488/85)·85/4 = (59, −372)

x = −59/372·(y−12) + 2 = −59/372 y + 1452/372 = −59/372 y + 121/31

    Por lo tanto el punto de Nagel es  N(121/31, 0) .