1603. La excentricidad angular

     Mire, profe. En una elipse, la excentricidad  ε  cumple que  0 < ε < 1 . Eso mismo le ocurre a la función seno en el primer cuadrante:  0 < sen θ < 1 . Si igualamos  ε = sen θ , entonces  θ  se llama excentricidad angular de la elipse. (En el primer cuadrante,  0 < θ < π/2 .)

    Pepe Chapuza hizo un dibujo para que viéramos cuál era ese ángulo  θ ... (El dibujo solo era válido si  a > b , evidentemente.)

    Y, por supuesto, había un par de cuestiones que resolver...

    Profe, mire. Consideremos, inscrito en la elipse, el rectángulo de base la distancia focal y de altura el lado recto... ¿Qué otro rectángulo inscrito en la elipse tiene igual área que el anterior? ¿Para qué excentricidad angular no existe este segundo rectángulo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó la situación...

    Mire, profe. La distancia focal mide  2c  y el lado recto  2b²/a , así que el área del rectángulo medirá  4b²c/a . Si centramos la elipse, (a cos λ, b sen λ), el vértice del rectángulo en el primer cuadrante será (c, b²/a) y, para ese punto,  cos λ = c/a = ε , y el parámetro será  λ = π/2−θ .

    El área de un rectángulo inscrito en la elipse es  4ab cos λ sen λ = 2ab sen 2λ . Así que resolvemos la ecuación  2ab sen 2λ = 4b²c/a , esto es,  sen 2λ = 2bc/a² .

    La solución del primer rectángulo cumple  2λ = π−2θ  por lo que la otra solución, la del segundo rectángulo, cumplirá  2λ' = π−2λ = 2θ , por lo tanto  λ' = θ  y el rectángulo buscado tiene de base  2a cos θ = 2ab/a = 2b  y de altura  2b sen θ = 2bc/a .

    Profe, mire. No habrá segundo rectángulo cuando ambos coincidan. Entonces  c = b = a/√2  y  θ = π/4. Se trata de un rectángulo de altura a.

    Nina había resuelto ambas cuestiones. Resolved ahora estas... ¿Qué ángulo representa el parámetro λ? ¿Para qué valor de λ, en el primer cuadrante, el área del rectángulo es máxima?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo un dibujo para explicarlo...

    Mire, profe. Así hemos dibujado una elipse en clase de dibujo..., a partir de dos circunferencias concéntricas de radios a y b: sendos radios son los semiejes de la elipse...

    El rectángulo de área máxima se obtiene anulando la derivada del área, esto es, resolviendo la ecuación  4ab cos 2λ = 0 , es decir, λ = π/4 . Se trata por tanto del rectángulo de base  a√2 , altura  b√2 , y área  2ab .