1601. Polígonos de verdad...

    Iba a mandar problemas de polígonos y Pepe Chapuza, que estaba despistado, saltó:

    ¿Qué problemas hay en el polígono industrial?

    Entre las risas de la clase le recordé a Pepe que estábamos en "polígonos de verdad": regiones planas encerradas por líneas quebradas cerradas simples..., con todo lo que eso significaba... Y pude enunciar el primer problema. Se trataba de un polígono en el que la suma de todos sus ángulos excepto uno daba la cantidad de 4444º. Se pedía el número de lados y el ángulo que faltaba en la suma...

    ¡Inténtalo "de verdad"...!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla estuvo atenta todo el rato...

    Mire, profe. Si N es el número de ángulos del polígono. La suma de todos ellos es

N·180º − 360º = 4444º + Â

así que

N = (4804º+Â) / 180º 

donde  es el ángulo que falta ( 0º <  < 360º ). Por lo tanto 

4804º / 180º < N < 5164º / 180º 

26,6888... < N < 28,6888...

    ¡Profe, mire! ¡Hay dos soluciones!:  N' = 27  y  N" = 28 .

    ¡Se me había olvidado decir que el polígono era convexo...!

RESOLUCIÓN

    Profe, mire:  Â = N·180º − 4804º .

    Para N' sería  Â' = 27·180º − 4804º = 56º < 180º .

    Para N" sería  Â"= 28·180º − 4804º = 236º > 180º .

    Por lo tanto las solución es  N = 27 ángulos  y  Â = 56º .

    Yoyó Gaviota dio la solución "de verdad"...