1600. Sumando inversos...

    Mire, profe. La base de un triángulo está a nivel del mar... Elegimos dos puntos A y D en sendos lados oblicuos del triángulo (no valen los vértices). Sean a y d respectivamente las altitudes de dichos puntos. Sea b la altitud de la intersección B de las cevianas correspondientes a A y a D. Y sea c la altitud del vértice superior C...

    ¿Será verdad que 1/a + 1/d = 1/b + 1/c ?

    Contestad a Pepe Chapuza...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla observó que había muchos triángulos semejantes en la figura. así que echó mano de la proporcionalidad...

    Profe, mire. Relacionamos lados de triángulos semejantes ...

(w+x+y+z) / a  =  (x+y+z) / b

(v+w+x+y) / d  =  (v+w) / b

v / a  =  (v+w+x) / c

z / d  =  (y+z) / c

... y sumamos las cuatro igualdades ...

(v+w+x+y+z) / a  +  (v+w+x+y+z) / d  =  (v+w+x+y+z) / b  +  (v+w+x+y+z) / c

... y simplificamos

 1/a + 1/d = 1/b + 1/c

     

    Era un caso particular del teorema de Stengel... De hecho, los segmentos a, b, c y d tienen que ser paralelos entre sí, pero no necesariamente perpendiculares a la base... Por otro lado, si B estuviera más a la derecha que C, el razonamiento sería similar...

    Nina propuso un ejercicio de suma de inversos:

    Mire, profe. Si 6 ^p = 24 ^q = 12, ¿cuánto vale 1/p + 1/q?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota recurrió a los logaritmos:

    Mire, profe:  p = log₆12  y  q = log₂₄12 , por tanto...

1/p + 1/q = log₁₂6 + log₁₂24 = log₁₂(6·24) = log₁₂144 = 2

    Recuérdese que log_AB = ln B / ln A, por eso, log_AB y log_BA son inversos...