1596. Los círculos de Malfatti

     Mire, profe. Los círculos de Malfatti de un triángulo son tres círculos tales que cada uno de ellos es tangente a los otros dos círculos y a dos lados del triángulo. Malfatti pensaba que de entre todos los tríos de círculos que cabían en un triángulo sin solaparse, los suyos sumaban la mayor área posible (problema de Malfatti)...

    La historia que ha empezado Pepe Chapuza continúa...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Más de un siglo después se sabía que esto no era cierto. Lo curioso era que los contraejemplos eran supersencillos...

    Más tarde Goldberg descubrió que los círculos de Malfatti no eran la solución del problema de Malfatti para ningún triángulo... ¡Pobre Malfatti!

    Nina Guindilla había continuado la historia, pero esta aún no había terminado...

RESOLUCIÓN

    ¡En fin! Le tocaba a Yoyó Gaviota terminar la historia...

    Mire, profe. Casi dos siglos después de que lo planteara Malfatti, la solución de su problema fue encontrada por Zalgaller y Loss.

    La forma (no el tamaño) de un triángulo queda determinada por dos de sus ángulos, por ejemplo, los menores  α  y  β , esto es,  0º < α ≤ β ≤ 90º − α/2 . Si  sen α/2 = tg β/4  el problema tiene dos soluciones: las disposiciones naranja y verde; si sen α/2 > tg β/4  la solución es la disposición naranja; y si sen α/2 < tg β/4  la solución es la disposición verde...

    Si trasladamos los ángulos  α  y  β  a unos ejes cartesianos, cada punto de la región coloreada corresponde a un triángulo y a todos sus semejantes. Los isósceles estarían representados por dos lados de la región, los equiláteros por un vértice y los escalenos por los puntos del interior...

    Las áreas naranja y verde representan los triángulos cuya solución es la disposición naranja o verde respectivamente. La curva morada señala los triángulos con doble solución... No hay ningún punto azul que corresponda a la disposición de Malfatti...