1595. Trébol polar...

     Estábamos viendo las coordenadas polares: radio r (erre) y ángulo α (alfa). Habíamos explicado que tanto r como α podían ser negativos, nulos o positivos... y lo que significaba esto en cada caso...  

   Pepe Chapuza trajo un dibujo de un trifolio (forma cursi de decir trébol) con su ecuación en coordenadas polares:  r = cos (3α) . Calcula el área de cada hojita del trébol polar...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Las tres hojas son iguales y simétricas... Para la hoja de la derecha tenemos que  −π/6 ≤ α ≤ π/6 , así que su área es...

2/2 ʃ ₀^π/6 r² dα = ʃ ₀^π/6 cos²(3a) dα =

 = 1/2 ʃ ₀^π/6 ( 1 + cos(6α) ) dα = 

= 1/2 ( α + 1/6 sen(6α) ) /₀^π/6 = π/12

    Nina Guindilla integró correctamente... ¿Cuánto mide el área de una hoja de cuadrifolio?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tenía suerte... ¡Un trébol de cuatro hojas! 

    Profe, mire. Hay que tener cuidado: la ecuación del cuadrifolio es  r = cos (2α) . (Por el contrario, la ecuación  r = cos (4α)  da lugar a una rosa polar de ocho pétalos...) El área pedida es...

2/2 ʃ ₀^π/4 r² dα = ʃ ₀^π/4 cos²(2a) dα =

 = 1/2 ʃ ₀^π/4 ( 1 + cos(4α) ) dα = 

= 1/2 ( α + 1/4 sen(4α) ) /₀^π/4 = π/8

    Se deja para el lector curioso el investigar las diversas rosas polares, a cuál más hermosa...