1581. Progresando adecuadamente...

    Mire, profe. El polinomio  x³ + Ax² + Bx + C  tiene tres ceros... ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes A, B y C para que los tres ceros estén en progresión aritmética? ¿Y si la progresión fuera geométrica?

    Pepe Chapuza ha propuesto este reto... ¿Progresas con las progresiones? ¿Te atreves a resolverlo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó Z al segundo cero (que era el término central de la progresión).

    Profe, mire. Si la progresión es aritmética de diferencia D, los tres ceros son Z−D, Z y Z+D. Por tanto el polinomio se puede factorizar y desarrollar así:

(x−Z+D) (x−Z) (x−Z−D)  =  x³ − 3Z x² + (3Z²−D²) x − Z³ + D²Z

por lo que igualando los coeficientes tenemos

A = −3Z

B = 3Z²−D²

C = −Z³ + D²Z

y por tanto

Z = −A/3    de la primera igualdad

D² = A²/3 − B    de la segunda igualdad

C = A³/27 −A³/9 + AB/3    de la tercera igualdad

    Así que...

2A³ − 9AB + 27C  =  0

    Nina había conseguido la primera condición. Sigamos oyéndola...

    Mire, profe. Si la progresión es geométrica de razón R, los tres ceros son Z/R, Z y Z·R. Por lo tanto el polinomio se puede factorizar y desarrollar así:

(x−Z/R) (x−Z) (x−Z·R)  =  x³ − Z(1/R+1+R) x² + Z²(1/R +1+R) x − Z³

por lo que igualando los coeficientes tenemos

A = −Z(1/R+1+R)

B = Z²(1/R +1+R)

C = −Z³

y por tanto

Z = −B/A    de las dos primeras igualdades

C = B³/A³    de la tercera igualdad

    Así que...

A³C − B³ = 0

    Ya teníamos la segunda condición... 

    Pero esto se entiende mejor con ejemplos, así que propuse como ejercicios calcular los ceros en progresión aritmética del polinomio  x³ − 21x² + 122x − 168  y los ceros en progresión geométrica del polinomio  x³ − 26x² + 156x − 216 .

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. 

    Comprobamos la primera condición con el primer polinomio...

2·(−21)³ − 9·(−21)·122 + 27·(−168)  =  0

 por lo que.

Z = −(−21)/3 = 7

D² = (−21)²/3 − 122 ) = 25

D = √25 = 5    (también −5)

 y los ceros son

2, 7 y 12.

    Y ahora la segunda condición con el segundo polinomio...

(−26)³·(−216) − 156³ = 0

por lo que  

Z = (−156)/(−26) = 6

1/R+1+R = −(−26)/6 = 13/3

3 + 3R + 3R² = 13R

3R² − 10R + 3 = 0

R = ( 5 + √(25−9) ) / 3 = 3    (también 1/3)

y los ceros son

2, 6 y 18.

    Felicité a Yoyó Gaviota...