1580. La aritmética del reloj...

    Mire, profe. Son las diez, dentro de cinco horas serán las...

    Contesté a Pepe Chapuza que serían las tres... Pepe escribió en la pizarra:  10 + 5 = 3 . Los compañeros se echaron a reír pero yo le di la razón a Pepe. Comenté que en la aritmética modular esa operación es válida, pero que se escribía mejor así:  10 + 5 ≡ 3  (quince equivale a tres). También, que en el reloj de 12 horas tenemos que  12 ≡ 0  (12 equivale a 0). Y que también se podían multiplicar las horas... Por ejemplo,  11·8 ≡ 4  (88 equivale 4) porque 4 es el resto de dividir 88 entre 12.

    Pepe hizo una pregunta interesantísima:

    Profe, si el producto de dos horas  A·B ≡ 1 , ¿se podría decir que son horas inversas? 

    Le volví a dar la razón a Pepe. Le dije que eran inversos modulares. Y le pedí a la clase que localizaran las parejas de inversos modulares en el reloj, esto es, la parejas de inversos en módulo 12.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo que las horas pares no tenían inverso modular porque el producto sería par y el resto de dividir entre 12, que también es par, no podía ser 1.

    Mire, profe. 12 es múltiplo de 3 así que tampoco pueden tener inverso modular ni 3 ni 9 porque el producto sería múltiplo de 3 y entonces el resto tampoco será 1. Así que me quedaban pocas opciones... Cogí la tabla de multiplicar y llegué a la conclusión de que las únicas horas que tienen inversos en la aritmética del reloj son: 1, 5, 7 y 11.

1·1 = 1 = 1 + 0·12

5·5 = 25 = 1 + 2·12

7·7 = 49 = 1 + 4·12

11·11 = 121 = 1 + 10·12

    O, como hemos visto

1·1 ≡ 5·5 ≡ 7·7 ≡ 11·11 ≡ 1

    ¡Son horas autoinversas!

    ¿Pedí a los chicos que investigaran las parejas de inversos en módulo 11, y en módulo 13.

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. En módulo 11 estamos quitando una hora al reloj y en módulo 13 se la estamos poniendo. (Serían relojes muy útiles las noches del cambio horario en vez de estar adelantando o atrasando una hora, jajaja...). Recordemos que en el reloj de 11 horas,  11 ≡ 0 , y en el de 13 horas,  13 ≡ 0 . ¡En estos relojes aparece la hora cero!

    Por el razonamiento de Nina se puede deducir que solo tienen inverso modular los números de esos extraños relojes que sean coprimos del módulo. Como 11 y 13 son primos, eso ocurre para todos los números del respectivo reloj (excepto para el 0 evidentemente). Enlazo con líneas las parejas de inversos modulares:

    Yoyó Gaviota no se limitó a hacer sendos dibujos que parecían caras de gato... Hizo las comprobaciones:

    En módulo 11:

1·1 = 1 = 1 + 0·11

2·6 = 12 = 1 + 1·11

3·4 = 12 = 1 + 1·11

5·9 = 45 = 1 + 4·11

7·8 = 56 = 1 + 5·11

10·10 = 100 = 1 + 9·11

    En nódulo 13:

1·1 = 1 = 1 + 0·13

2·7 = 14 = 1 + 1·13

3·9 = 27 = 1 + 2·13

4·10 = 40 = 1 + 3·13

5·8 = 40 = 1 + 3·13

6·11 = 66 = 1 + 5·13

12·12 = 144 = 1 + 11·13