1553. Fórmulas de adición. (2ª parte)

    Pepe Chapuzas mostró en clase el siguiente dibujo en el que se veían tres triángulos rectángulos. En cada triángulo un lado medía 1 y por lo tanto los otros dos lados eran razones trigonométricas de uno de los ángulos agudos:

    A continuación hizo una preciosa demostración de las fórmulas de adición...

    Mire, profe. Si sumo gráficamente dos ángulos agudos y si trazo una perpendicular a su lado común a un pie de su vértice común ...

    Pepe nos mostró este otro dibujo con un triángulo:

    ... entonces puedo calcular el área de este triángulo de dos formas distintas:

    Como la mitad del producto de la base y la altura:  

( tg α + tg β ) / 2

    Como la mitad del producto de dos lados y el seno del ángulo comprendido.

sec α · sec β · sen (α+β) / 2

    Igualando, dividiendo por  sec α · sec β / 2  y simplificando, tenemos...

sec α · sec β · sen (α+β) / 2 = ( tg α + tg β ) / 2

sen (α+β) = tg α / sec α / sec β + tg β / sec α / sec β

sen (α+β) = sen α · cos β + cos α · sen β

    Era sin duda una preciosa demostración. Merece la pena intentar demostrar de esta manera las otras fórmulas de adición...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó un triángulo obtusángulo de altura 1 pie y rehízo la demostración...

    Profe, mire. 

sec α · sec β · sen (α−β) / 2 = ( tg α − tg β ) / 2

sen (α−β) = tg α / sec α / sec β − tg β / sec α / sec β

sen (α−β) = sen α · cos β − cos α · sen β

    En fin. Estaban las fórmulas para el seno. Faltaban las del coseno...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso nos recordó que el coseno es el seno del complementario y que por lo tanto el seno era el coseno del complementario. (O sea, el seno del complementario del complementario.)

cos (α+β) =

= sen (90º−α−β) = 

= sen (90º−α) · cos β − cos (90º−α) · sen β =

= cos α · cos β − sen α · sen β

cos (α−β) =

= sen (90º−α+β) = 

= sen (90º−α) · cos β + cos (90º−α) · sen β =

= cos α · cos β + sen α · sen β