1540. Área máxima (2ª parte). RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le encantan los problemas de optimización...

    Mire, profe. En un semicírculo inscribimos una elipse cuyo eje mayor es paralelo al diámetro del semicírculo. Si el área de la elipse fuera la máxima posible..., ¿cuál sería su excentricidad?

    SOLUCIÓN

    A Nina también le gustaba optimizar...

    Profe, mire. Podemos suponer que el radio del semicírculo es 1. Si llamamos a los semiejes de la elipse  a  y  b , entonces tenemos...

la semicircunferencia:       x² + y²  =  1              y > 0

la elipse:        x²/a² + (y–b)²/b²  =  1

de donde

x²  =  1 –  y² 

(1–y²)/a² + (y–b)²/b²  =  1

(1/b²–1/a²) y² – (2/b) y + (1/a²) = 0

    El discriminante de esta ecuación es nulo porque la elipse y la semicircunferencia son tangentes...

1/b² – (1/b²–1/a²)(1/a²) = 0

1/b² + 1/a⁴– 1/a²/b² = 0

a⁴ + b² – a² = 0

b² = a² – a⁴

    El cuadrado del área de la elipse es

π² a² b² = π² a² (a² – a⁴) = π² (a⁴ – a⁶)

y anulando su derivada respecto de  a ...

4a³ – 6a⁵ = 0
4 – 6a² = 0
a² = 4/6 = 2/3
a = √(2/3) 

que es el valor de  a  para el que el área de la elipse es máxima, pues la segunda derivada

π² (12a² – 30a⁴) = π² (12 · 2/3 – 30 · 4/9) = π² (8 – 40/3) < 0

    Así, tenemos

b² = 2/3 – 4/9 = 2/9
b = √2 / 3

la semidistancia focal 

c = √(a²–b²) = √(2/3–2/9) = √(4/9) = 2/3

y la excentricidad

e = c/a = 2/3 / √(2/3) = √(2/3)

    
Nina Guindilla propuso otra optimización:

    Mire, profe. En un semicírculo de radio 1 inscribimos un trapecio isósceles de modo que la base mayor del trapecio es el diámetro del semicírculo... Halla el área máxima que puede alcanzar un trapecio así...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso trabajó con trigonometría...

    Profe, mire.

    Un punto del primer cuadrante de circunferencia es  (cosZ, senZ)  0º<Z<90º .

    La base mayor del trapecio mide  2 , la base menor  2cosZ  y la altura  senZ  por lo que el área del trapecio será...

A = (2 + 2cosZ)·senZ / 2 = senZ + senZ·cosZ = senZ + sen2Z / 2

    Derivando

d/dZ (senZ + sen2Z /2) = cosZ + cos2Z = cosZ + 2cos²Z – 1

y anulando

2cos²Z + cosZ – 1  =  0

cosZ = ( –1 + √(1+8) ) / 4 =  (–1+3)/4  =  1/2

Z = 60º

    Así, el área máxima es

A = sen60º + sen60º cos60º = √3/2 + √3/2 · 1/2 = 3√3/4

que es máxima porque

d²/dZ² (senZ + sen2Z / 2) = – senZ – 2 sen2Z

es negativa para Z = 60º.

    Le faltó rematar a Yoyó Peluso... ¡Este trapecio es medio hexágono regular!