1509. Joyas pentagonales. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas estaba regalando estrellas de navidad... Eran estrellas de cinco puntas y ninguna era regular... Pepe se había dado demasiada prisa al hacerlas... Entonces Pepe nos contó que las estrellas de cinco puntas esconden un secreto...

    Mire, profe. Una estrella de cinco puntas está formada por un pentágono convexo y cinco triángulos... Si dibujamos las circunferencias circunscritas de los triángulos, tenemos una cadena cerrada de circunferencias secantes... Cinco de los diez puntos de corte entre circunferencias son los vértices del pentágono... Y los otros cinco ... ¡son puntos concíclicos! ¡Hay una circunferencia que pasa por los cinco!

    Este es el precioso teorema del pentágono de Miquel para nuestra colección de teoremas geométricos... Desgraciadamente, las demostraciones de este teorema son demasiado largas...

    Pepe Chapuzas nos ha mostrado una joya geométrica... Hay muchos resultados igual de hermosos que lucen el sello de Miquel...
    A ver quién acude con otra joya pentagonal...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo la fórmula de los triángulos de Monge:

   Mire, profe. En un pentágono convexo de vértices consecutivos A, B, C, D y E se cumple que

área[ABC] · área[ADE] + área[ABE] · área[ACD]  =  área[ABD] · área[ACE]

    Para demostrar este teorema necesitamos la identidad trigonométrica...

senX·senZ + sen(X+Y+Z)·senY = sen(X+Y)·sen(Y+Z)

    Veamos...

senX·senZ + sen(X+Y+Z)·senY =
= senX·senZ+(senX·cosY·cosZ+cosX·senY·cosZ+cosX·cosY·senZ–senX·senY·senZ)·senY =
= senX·senZ+senX·cosY·senY·cosZ+cosX·sen²Y·cosZ+cosX·cosY·sebY·senZ–senX·sen²Y·senZ =
= senX·senZ·(1–sen²Y)+senX·cosY·senY·cosZ+cosX·sen²Y·cosZ+cosX·cosY·sebY·senZ =
= senX·cos²Y·senZ+senX·cosY·senY·cosZ+cosX·sen²Y·cosZ+cosX·cosY·sebY·senZ =
= (senX·cosY + cosX·senY)·(senY·cosZ + cosY·senZ) =

= sen(X+Y)·sen(Y+Z)

    Ahora, a partir del dibujo

área[ABC] · área[ADE] + área[ABE] · área[ACD]  =

=  b·c·senX/2 · d·e·senZ/2 + b·e·sen(X+Y+Z)/2 · c·d·senY/2  =

=  bcde/4 · ( senX·senZ + sen(X+Y+Z)·senY )

=  bcde/4 · sen(X+Y) · sen(Y+Z)  =

=  b·d·sen(X+Y)/2 · c·e·sen(Y+Z)/2  =

=  área[ABD] · área[ACE]

    No hay dos sin tres... ¿verdad?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso nos regaló esta clasificación de los pentágonos según la convexidad-concavidad de sus ángulos, los puntos de intersección de sus lados y los "agujeros"... Solo contempla pentágonos que no tengan tres vértices alineados (de ese modo los lados y las diagonales descansan en rectas diferentes)... Le salen 11 clases: