680. Progresiones vectoriales. RESOLUCIÓN

    El ejercicio era sencillo... Había que dividir un segmento en 5 partes iguales: había que calcular las coordenadas de los 4 puntos intermedios por donde había que cortar... Pepe Chapuzas lo resolvió de la siguiente manera.

    Profe, mire. Si hay que dividir el segmento AF en 5 partes iguales mediante los puntos B, C, D y E, y si a, b, c, d, e y f son los vectores de posición de A, B, C, D, E y F respectivamente, entonces:

b = 4/5·a + 1/5·f

c = 3/5·a + 2/5·f

d = 2/5·a + 3/5·f

e = 1/5·a + 4/5·f

    Además, los vectores a, b, c, d, e y f están en progresión aritmética, y la diferencia de la progresión es el vector v = (f–a)/5.

    El punto de vista de Pepe era curioso... ¡Una progresión vectorial! 

    Utiliza este procedimiento con los puntos A(1, –2, 5) y F(16, 3, –5) y explica lo que quiere decir Pepe con "progresión aritmética de vectores"...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo los cálculos:

b = 4/5·(1, –2, 5) + 1/5·(16, 3, –5) = (4, –1, 3)

c = 3/5·(1, –2, 5) + 2/5·(16, 3, –5) = (7, 0, 1)

d = 2/5·(1, –2, 5) + 3/5·(16, 3, –5) = (10, 1, –1)

e = 1/5·(1, –2, 5) + 4/5·(16, 3, –5) = (13, 2, –3)

    Mire, profe. Las primeras coordenadas están en progresión aritmética. Y lo mismo ocurre con las segundas y las terceras:

1, 4, 7, 10, 13 y 16

–2, –1, 0, 1, 2 y 3

5, 3, 1, –1, –3 y –5

    Y las diferencias de las progresiones son 3, 1 y –2 tal como predijo Pepe:

v = ( (16, 3, –5) – (1, –2, 5) ) / 5 = (3, 1, –2)

    De hecho, se podían haber calculado los vectores de posición con el término general de la progresión, a+(n–1)·v, para n=2,3,4,5, o bien en cadena: a+v=b, b+v=c, c+v=d, d+v=e (y e+v=f).

    ¿Habrá "progresiones geométricas de vectores"?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se imaginó una progresión geométrica vectorial... Si una progresión aritmética vectorial se conseguía sumando sucesivamente con un mismo "vector diferencia", ahora habría que multiplicar sucesivamente por el mismo "vector razón"... Pero el producto escalar no era compatible con esta idea y con el producto vectorial no valían las fórmulas de las progresiones geométricas... así que tuvo que ingeniarse otro tipo de multiplicación de vectores...

    Profe, mire. Si llamo "producto chapucero" a (x, y, z)⊙(x', y', z') = (x·x', y·y', z·z') y "cociente chapucero" a (x, y, z)⊘(x', y', z') = (x/x', y/y', z/z'), entonces parece ser que tiene sentido hablar de progresiones geométricas de vectores... (Aunque no venga a cuento ahora, el producto de un escalar por un vector equivaldría a k·(x, y, z) = (k, k, k)⊙(x, y, z).)

    Volviendo al asunto, si empezamos con el vector (64, 81, 100) y vamos multiplicando chapuceramente una y otra vez siempre por el mismo vector razón (1/2, 1/3, –1/10), entonces vamos consiguiendo la sucesión de vectores...

(64, 81, 100)⊙⊙ (1/2, 1/3, –1/10) = (32, 27, –10)

(32, 27, –10)⊙(1/2, 1/3, –1/10) = (16, 9, 1)

(16, 9, 1)⊙(1/2, 1/3, –1/10) = (8, 3, –1/10)...

    Además, teniendo en cuenta que el elemento neutro de la multiplicación chapucera (elemento unidad) sería el vector (1, 1, 1), la suma de los infinitos términos de esta progresión geométrica de vectores se podría calcular fácilmente:

(64, 81, 100)⊘( (1, 1, 1) – (1/2, 1/3, –1/10) ) =

= (64, 81, 100)⊘(1/2, 2/3, 11/10) =

= (128, 243/2, 1000/11).

    Puedo decir que Yoyó Peluso sabe matar 3 pájaros de un tiro... 

    Solo puedo añadir que las operaciones "chapuceras" ⊙ y ⊘ se denominan en realidad multiplicación y división de Hadamard. Son operaciones con matrices equidimensionales. (Los vectores del espacio son matrices de dimensión 1x3.) 

    También existe la potenciación o elevación de Hadamard: (2, –5, 7)^(3, 2, 0) = (8, 25, 1)...