679. El mcd y las fracciones continuas. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas salió a la pizarra a corregir un ejercicio: había que calcular el máximo común divisor de los números 203 y 161. Supusimos que iba a factorizar los números y a aplicar la regla de "los factores comunes con el menor exponente" pero no... Utilizó el algoritmo de Euclides.

    Profe, mire: mcd(203,161) = 7. (Y mcm(203,161) = 203·161:7 = 4669.)

    No quedó ahí la cosa. Pepe continuó...

    Profe, mire. El algoritmo de Euclides también me permite escribir 203:161 como fracción continua: 203:161 = 1 + 42:161 = 1 + 1:(161:42) = 1 + 1:(3+35:42) = 1 + 1:(3+1:(42:35)) = 
= 1 + 1:(3+1:(1+7:35))) = 1 + 1:(3+1:(1+1:5))). O sea:

    O sea, abreviando, 203:161 = [1;3,1,5].

    Y no quedó ahí la cosa. Continuó...

    Profe, mire. El algoritmo de Euclides también me permite partir el rectángulo de dimensiones 203x161 en cuadrados:

    ¿Lo ve? Hay 1 cuadrado de 161x161, 3 cuadrados de 42x42, 1 cuadrado de 35x35 y 5 cuadrados de 7x7. En total 1+3+1+5 = 10 cuadrados.

    Pepe había puesto un ejemplo de cómo todo rectángulo con lados naturales se puede descomponer en una cantidad finita de cuadrados con lados naturales y, lo que es equivalente, de cómo todo número racional se puede escribir como una fracción continua finita... gracias al algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor (mcd) de dos números naturales.
    ¿Se podrá calcular de la misma manera el mcd de dos polinomio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llegó a la conclusión de que sí. Y expuso un ejemplo...

    Voy a calcular el máximo común divisor de los polinomios  x⁵ + 2x⁴ + 6x³ + 3x² + 8x – 2  y x⁴ + x³ + 5x² + 2x + 6  con el algoritmo de Euclides: 

    Por lo tanto, mcd ( x⁵ + 2x⁴ + 6x³ + 3x² + 8x – 2 , x⁴ + x³ + 5x² + 2x + 6 ) = x² + 2.

    ¡Estupendo! Nina ha conseguido calcular el mcd de dos polinomios cuya factorización no era viable con la regla de Ruffini...
    Investiga acerca del desarrollo de los números irracionales como fracciones continuas infinitas y nos lo cuentas...

RESOLUCIÓN

    Oigamos lo que nos quiere contar Yoyó Peluso...

    Profe, mire las siguientes fracciones continuas infinitas periódicas:

La razón áurea [1;1,1,1,1...] = (1+√5)/2

La razón argéntea [2;2,2,2,2...] = 1+√2

La razón broncínea [3;3,3,3...] = (3+√13)/2

    Estos números irracionales tienen estos desarrollos como fracciones continuas ya que:

La razón áurea es solución de la ecuación 1+1/x = x.

La razón argéntea es solución de la ecuación 2+1/x = x.

La razón broncínea es solución de la ecuación 3+1/x = x.

    Puesto que, racionalizando...

1+2/(1+√5) = 1+(√5–1)/2 = (1+√5)/2.

2+1/(1+√2) = 2+(√2–1)/1 = 1+√2.

3+2/(3+√13) = 3+(√13–3)/2 = (3+√13)/2.

    La razón áurea se encuentra en los lienzos de grandes pintores... Dalí sin ir más lejos...

    La razón argéntea se encuentra en los DIN A4: es argénteo el rectángulo que desechamos en un folio cuando en papiroflexia necesitamos un cuadrado de papel.

 

    De todos modos, mi fracción continua favorita es la del número e:

e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1...].